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1、第二节多元函数的概念1第1页，本讲稿共17页一、多元函数的定义一、多元函数的定义例例1 1设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积则长方形的体积 xyz 当当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，的值分别给定时，按这个公式，V就有一就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称个确定的值与之相对应，这时我们就称V是是x,y,z的三的三元函数元函数.第2页，本讲稿共17页一、多元函数的定义一、多元函数的定义例例2 2在西方经济学中，著名的在西方经济学中，著名的CobbDouglas生产函数为生产函数为L0 0，K0 0分别表示投入的劳力数量和资本数量，分别表示投入
2、的劳力数量和资本数量，这里这里C,为常数，为常数，y表示产量表示产量.当当K,L的值给定时，的值给定时，y就有一确定值与就有一确定值与之对应，因此称之对应，因此称y是是K,L的二元函数的二元函数.以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。第3页，本讲稿共17页一、多元函数的定义一、多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念变量等概念.定义定义第4页，本讲稿共17页二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.二
3、元函数的图形二元函数的图形第5页，本讲稿共17页再如再如,图形如右图图形如右图.例如例如,球面球面.单值分支单值分支:第6页，本讲稿共17页解解所求定义域为所求定义域为求的定义域例例3 3第7页，本讲稿共17页二、二元函数的极限二、二元函数的极限定义定义第8页，本讲稿共17页证证证明 证毕证毕例例4 4恒有恒有第9页，本讲稿共17页例例5 5求求 解解由基本不等式由基本不等式知知由夹逼定理，由夹逼定理，第10页，本讲稿共17页第11页，本讲稿共17页例例6 6解解沿沿 x 轴轴考察考察,沿沿 y 轴轴考察考察,第12页，本讲稿共17页三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义一切二元初等
4、函数在其定义域内都是连续的一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.例如，例如，内连续内连续.第13页，本讲稿共17页讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性例例7 7第14页，本讲稿共17页注意比较：注意比较：讨论函数在(0,0)的连续性例7第15页，本讲稿共17页有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必定上的多元连续函数，必定在在D上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值介于最大值和最小值之间的任何值.（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理第16页，本讲稿共17页练习：练习：P324 习题七第17页，本讲稿共17页