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1、第二节多元函数的基第二节多元函数的基本概念本概念现在学习的是第1页，共44页一、平面区域的概念一、平面区域的概念（1 1）邻域）邻域回忆回忆现在学习的是第2页，共44页（1 1）邻域）邻域一、平面区域的概念一、平面区域的概念现在学习的是第3页，共44页注：注：来描述，称为方形邻域。来描述，称为方形邻域。而前述领域称为圆形邻域。而前述领域称为圆形邻域。P0显然，任何圆形邻域内必含显然，任何圆形邻域内必含方形邻域，任何方形邻域内方形邻域，任何方形邻域内必含必含圆形邻域。圆形邻域。现在学习的是第4页，共44页（2 2）区域）区域例如，例如，即为即为开集开集内点内点.（如下图）（如下图）内点：内点：开
2、集：开集：开集开集.U(P)E=外点现在学习的是第5页，共44页连通：连通：连通的连通的.开区域：开区域：连通的开集称为区域区域或开区域例如，例如，（不连通）（不连通）现在学习的是第6页，共44页边界点：边界点：边界点边界点.例如，例如，圆周x2+y2=1和x2+y2=4均为圆的边界.现在学习的是第7页，共44页例如，例如，闭区域：闭区域：现在学习的是第8页，共44页对于点集对于点集 E，如果存在正数，如果存在正数 K，使一切点，使一切点 PE 与某一点与某一点O 间的距离间的距离|OP|不超过不超过 K，即，即对于一切点对于一切点 PE 成立，则称成立，则称 E 为为有界点集有界点集。否则称
3、为否则称为无界点集无界点集.有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，现在学习的是第9页，共44页（3 3）聚点）聚点（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点补充补充现在学习的是第10页，共44页（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合现在学习的是第11页，共44页（4 4）n 维空间维空
4、间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点.数组数组(x,y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应平面点平面点(x,y)全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)数组数组(x,y,z)一一对应一一对应空间点空间点(x,y,z)全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)推广推广：n 维数组维数组(x1,x2,xn)全体称为全体称为 n 维空间维空间，记为，记为现在学习的是第12页，共44页n 维空间中两点间维空间中两点间距离公式距离公式 设两点为设两点为特殊地，当特殊地，当 n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离点间的距
5、离n 维空间中维空间中邻域邻域概念：概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义现在学习的是第13页，共44页（1 1）二元函数的定义）二元函数的定义回忆回忆点集点集 D-定义域定义域，-值域值域.x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.二、二元函数的概念二、二元函数的概念现在学习的是第14页，共44页类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数点集点集 D-定义域定义域，-值域值域.x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.函数的函数的两个要素两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.现在学习的是第15页，共44页与一元函数相
6、类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为现在学习的是第16页，共44页（2 2）二元函数）二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）现在学习的是第17页，共44页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.现在学习的是第18页，共44页例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,右图球面右图球面.单值分支单值分支:现在学习的是第19页，共44页三、二元函数的极限三、二元函数的极限现在学习的是第20页，共44页（4）
7、二重极限的几何意义*0，P0 的去心 邻域 U(P0,)。在U(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。补充补充现在学习的是第21页，共44页说明：说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似现在学习的是第22页，共44页例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立现在学习的是第23页，共44页例例3 3 求求解解现在学习的是第24页，共44页例例4 4 求极限求极限 解解其中其中现在学习的是第25页，共44页注意：是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0.一一元元中中多多元元中中现在学习的是第26页，共44页例例5
8、5 设设解解但取但取其值随其值随 k 的不同而变化。的不同而变化。不存在不存在故故现在学习的是第27页，共44页确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法：现在学习的是第28页，共44页又如又如取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取现在学习的是第29页，共44页现在学习的是第30页，共44页四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性定义定义3 3（1）二元函数连续的概念现在学习的是第31页，共44页例例6 6 利用极坐标变换，设x=x=coscos,y=,y=sinsin，则，则解解 所以函数在（所以函数在（0 0，0 0）连续）连续.现在学习的是第32页，共44页注意：二元函数可能在某
9、些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。例如例如(1)(1)因此，因此，例如例如(2)(2)现在学习的是第33页，共44页二元初等函数二元初等函数：由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数。一切二元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：现在学习的是第34页，共44页例7 求极限 解解是二元初等函数。定义域：于是，于是，（不连通）（不连通）现在学习的是第35页，共44页例例8 8解解现在学习的是第36页，共44页例例
10、9 9*.求函数求函数的连续域的连续域.解解:补充补充现在学习的是第37页，共44页（2）闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次定理1 最大值和最小值定理定理2 介值定理现在学习的是第38页，共44页内容小结内容小结1.1.区域区域 邻域邻域:区域区域连通的开集连通的开集2.2.二元函数概念二元函数概念二二元函数元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)现在学习的是第39页，共44页有有3.3.二元函数的极限二元函数的极限4.4.
11、二元函数的连续性二元函数的连续性1)1)函数函数2)2)闭域上的二元连续函数的性质闭域上的二元连续函数的性质:有界定理有界定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理3)3)一切二元初等函数在其定义区域内连续一切二元初等函数在其定义区域内连续现在学习的是第40页，共44页思考题思考题1.1.设设求求解法解法1 1 令令现在学习的是第41页，共44页1.1.设设求求解法解法2 2 令令即即现在学习的是第42页，共44页2.2.是否存在？是否存在？解解：所以极限不存在所以极限不存在.现在学习的是第43页，共44页 3.3.证明证明在全平面连续在全平面连续.证证:为初等函数为初等函数,故连续故连续.又又故函数在全平面连续故函数在全平面连续.由夹逼准则得由夹逼准则得现在学习的是第44页，共44页