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1、会计学1线性代数方程组的解法上线性代数方程组的解法上2引言引言求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到方程组的精确解。当然，实际计算结果仍有误差，方程组的精确解。当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。响解的精度。求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法，但用在现代电子计这是一个众所周知的古老方法，但用在现代电子
2、计算机上仍然十分有效。算机上仍然十分有效。第1页/共41页3约当消去法约当消去法消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手续，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个续，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解。方程仅含一个变元，从而得出所求的解。所谓约当消去法所谓约当消去法，其特点是，它的每一步仅，其特点是，它的每一步仅在一个方程中保留某个变元，而从其它的各个方在一个方程中保留某个变元，而从其它的各个方程中消去该变元，这样经过反复消元后，所给方程
3、中消去该变元，这样经过反复消元后，所给方程组中的每个方程最终被加工成仅含一个变元的程组中的每个方程最终被加工成仅含一个变元的形式，从而得出所求的解。形式，从而得出所求的解。第2页/共41页4高斯消去法高斯消去法高斯消去法是约当消去法的一种改进。高斯消去法是约当消去法的一种改进。高斯消去法的求解过程分为消元过程和回代过高斯消去法的求解过程分为消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组。所归结的方程成组再通过回代过程得出角方程组。所归结的方程成组再通过回代过程得出它的解。它的解。高斯消去法由于添加了回代的过程，算法结构高斯消去法
4、由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种算法的改进明显减少了计算量。稍复杂，但这种算法的改进明显减少了计算量。第3页/共41页5选主元素选主元素我们在高斯消去法的消元过程中检查方程组中变元我们在高斯消去法的消元过程中检查方程组中变元 的各系数，从中挑选出最大者，称之为第的各系数，从中挑选出最大者，称之为第 步的主元素。步的主元素。设主元素在第设主元素在第 个方程，即个方程，即 若若 不等于不等于 ，则我们先将第，则我们先将第 个方程与第个方程与第 个互易位个互易位置，使新的置，使新的 成为主元素，这一手续称为选主元素。成为主元素，这一手续称为选主元素。第4页/共41页6解线性代数方程组的直
5、接方法解线性代数方程组的直接方法第5页/共41页7解线性方程组的直接方法（续解线性方程组的直接方法（续1）第6页/共41页8解线性方程组的直接方法（续解线性方程组的直接方法（续2）解线性方程组的两类方法：解线性方程组的两类方法：直接法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确经过有限次运算后可求得方程组精确 解的方法解的方法(不计舍入误差不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）（一般有限步内得不到精确解）第7页/共41页9Gauss Gauss 消去法
6、消去法第8页/共41页10相当于第相当于第i i个方程个方程-第一个方程第一个方程数数新的第新的第i i方程方程同解！第一方程不动！同解！第一方程不动！一、一、Gauss 消去法计算消去法计算过程过程第9页/共41页11Gauss Gauss 消去法计算过程消去法计算过程上述消元过程除第一个方程不变以外上述消元过程除第一个方程不变以外,第第2 2第第 n n 个方程全消去了变量个方程全消去了变量 1 1，而系数和常数项全得到新值：，而系数和常数项全得到新值：第10页/共41页12Gauss 消去法计算过程消去法计算过程（续（续1）第11页/共41页13Gauss 消去法计算过程（续消去法计算过
7、程（续2）第12页/共41页14Gauss 消去法计算过程消去法计算过程（续（续3）第13页/共41页15Gauss 消去法计算过程消去法计算过程（续（续4）第14页/共41页16Gauss 消去法计算过程消去法计算过程（续（续5）系数矩阵与常数项：第15页/共41页17消去过程算法消去过程算法第16页/共41页18回代过程算法回代过程算法第17页/共41页19例题分析例题分析第18页/共41页20消去第一列的消去第一列的 n-1 n-1 个系数要计算个系数要计算n*(n-1n*(n-1）个乘法。个乘法。二、二、Gauss消去法乘法消去法乘法计算量计算量第19页/共41页21每一步消去过程相当
8、于左乘初等变换矩阵每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵L Lk k三、三、Gauss消去法的矩消去法的矩阵表示阵表示第20页/共41页22Gauss 消去法的矩阵表消去法的矩阵表示示第21页/共41页23Gauss 消去法计算过程消去法计算过程第22页/共41页24LU形式形式第23页/共41页25例题分析例题分析第24页/共41页26高斯主元素消去法高斯主元素消去法第25页/共41页27例题分析例题分析第26页/共41页28例题分析例题分析（续）（续）第27页/共41页29高斯列主元素消去法高斯列主元素消去法第28页/共41页30高斯列主元素消去法高斯列主元素消去法（续）（续）第29页/共4
9、1页31高斯高斯若当消去法若当消去法第30页/共41页32高斯高斯若当消去法若当消去法（续）（续）第31页/共41页33高斯消去法的变形高斯消去法的变形一、一、LU 分解分解第32页/共41页34LU 分解分解设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若A的顺序主子式的顺序主子式Ai均不为零，则矩阵存均不为零，则矩阵存在唯一的在唯一的LU(Doolittle 杜利特尔）分解。杜利特尔）分解。第33页/共41页35直接计算直接计算 A 的的 LU 分解分解(例例)第34页/共41页36直接计算直接计算 A 的的 LU 分解分解(例例)（续）（续）第35页/共41页37一般计算公式一般计算公式 计算量与计算量与 Gauss Gauss 消去法同消去法同.第36页/共41页38LU 分解求解线性方程分解求解线性方程组组第37页/共41页39LU 分解求解线性方程组分解求解线性方程组（续（续1）第38页/共41页40LU 分解求解线性方程组分解求解线性方程组（续（续2）第39页/共41页41本讲结束!谢谢大家!再见!第40页/共41页