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1、3.5 向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数一、一、向量范数（向量范数（/*Vector Norm*/）设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足正定性：正定性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：且且则称则称 为为 中向量中向量 的的范数范数。非负实值非负实值函数函数 称为称为赋范赋范线性空间线性空间可以推广到可以推广到 常用的几种常用的几种向量范数：向量范数：设设 1-范数：范数：2-范数：范数：-范数：范数：上述上述3种向量范数统称为种向量范数统称为P-范数范数(或者或者Holder范数范数)设设由夹逼定理由夹逼定理 两个重
2、要不等式两个重要不等式 闵可夫斯基闵可夫斯基(Minkowski)不等式不等式：柯西柯西-许瓦滋许瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式不等式：或者或者例例1 1：设设 是是n阶实对称阶实对称正定正定矩阵，则矩阵，则是是 中的一种向量范数。中的一种向量范数。证明：证明：只需验证范数的只需验证范数的3个条件成立即可。个条件成立即可。非负性非负性：齐次性齐次性：三角不等性：三角不等性：存在非奇异存在非奇异下三角下三角阵阵例例2 2：证明证明是线性空间是线性空间 上的一种范数。上的一种范数。证明：证明：只需验证范数的只需验证范数的3个条件成立即可。个条件成立即可。非负性非负性：齐次性齐次性：三
3、角不等性：三角不等性：闵可夫斯基闵可夫斯基(Minkowski)不等式不等式：向量范数的性质：向量范数的性质：性质性质1性质性质2是是 的的n元连续函数元连续函数.设设 和和 是是 上定义的两种范数，如果存在上定义的两种范数，如果存在正数正数满足满足则称则称 和和 是是 上等价的向量范数。上等价的向量范数。（等价性（等价性/*Equivalence Property*/）性质性质3例如例如性质性质4向量范数的等价性具有向量范数的等价性具有传递性传递性。性质性质5的所有向量范数是的所有向量范数是彼此等价彼此等价的。的。（向量序列向量序列的范数极限的范数极限）即向量序列的即向量序列的范数收敛范数收
4、敛等价于向量等价于向量分量收敛分量收敛性质性质6设设,则则 的充要条件是的充要条件是二、二、矩阵范数（矩阵范数（/*Matrix Norm*/）正定性：正定性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：且且则称则称 为为 中矩阵中矩阵 的的范数范数。赋范赋范线性空间线性空间可以推广到可以推广到 相容性相容性:设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足是一种是一种矩阵矩阵范数。范数。例例3 3：设设 ，证明：，证明：证明：证明：只需验证范数的只需验证范数的4个条件成立即可。个条件成立即可。上述范数可以看成是上述范数可以看成是 维向量的维向
5、量的2-范数，故只需验证范数，故只需验证记记Frobenius范数范数简称简称F-范数范数其中其中称之为矩阵称之为矩阵 的的迹迹是是 的的特征值特征值设设 是是 上的范数，上的范数，是是 上的范数上的范数如果对如果对 满足满足则称上述矩阵范数与向量范数则称上述矩阵范数与向量范数相容相容。相容性相容性（/*Compatibility*/）证明：证明：设设显然它是一种向量范数。显然它是一种向量范数。令令设设 是是 中的任意一种矩阵范数，则在中的任意一种矩阵范数，则在中至少存在一种向量范数中至少存在一种向量范数 ，使得，使得 和和 是是相容相容的。的。性质性质记记由由 得得而而从属性从属性（/*Su
6、bordination*/）设矩阵范数设矩阵范数 与向量范数与向量范数 相容相容，且对每一个，且对每一个都存在一个都存在一个非零向量非零向量 满足满足则称则称 是是从属于从属于向量范数向量范数 的矩阵范数。的矩阵范数。从属于从属于向量范数向量范数 的的必要条件必要条件：证明：证明：矩阵范数与向量范数的矩阵范数与向量范数的相容性：相容性：设设 是是 中的一种中的一种向量向量范数范数,若定义若定义 则则 是是 上的一种上的一种矩阵矩阵范数范数.非负性：非负性：设设 ，则，则由由知知齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：相容性：相容性：矩阵范数的矩阵范数的一般定义形式：一般定义形式：上述一般定义形
7、式中分别取上述一般定义形式中分别取从而得到常用的从而得到常用的3种分别种分别从属于从属于它们的矩阵范数：它们的矩阵范数：列范数：列范数：记记行范数：行范数：谱范数：谱范数：其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值谱半径谱半径谱范数：谱范数：其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值证明：证明：因为因为 是是半正定半正定的对称阵的对称阵,可设其特征值为可设其特征值为其对应的其对应的正交规范特征向量正交规范特征向量为为则对则对例例4 4：给定矩阵给定矩阵求矩阵求矩阵 的的1、2、范数。范数。若若 是是实对称实对称矩阵，则矩阵，则矩阵矩阵 的特征值为的特征值为设设 ,则则对任意的正交矩阵对任意的正交矩
8、阵 和和 ,有有设设 是是 上的任意一种矩阵范数，则对上的任意一种矩阵范数，则对有有对对至少存在一种至少存在一种从属从属的矩阵的矩阵范数范数 ，满足，满足 可看成是可看成是 维向量空间，由向量范数的维向量空间，由向量范数的性质性质3得得设设 和和 是是 上定义的两种范数，则存在上定义的两种范数，则存在正数正数，满足，满足（矩阵范数的（矩阵范数的等价性等价性）设设 ,则有则有收敛的充要条件是收敛的充要条件是 .设设 ,则有则有当当 收敛时收敛时,有有且存在且存在从属从属矩阵范数矩阵范数 满足满足可逆且可逆且设设 是是 上的一个满足条件上的一个满足条件的矩阵范数，并假设的矩阵范数，并假设 满足满足 ,则有则有推论推论3.5.13.5.1设设 ，如果，如果 存在，且有存在，且有则则 可逆，且可逆，且推论推论3.5.23.5.2