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1、关于线性代数方程组的解法现在学习的是第1页，共26页5 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数一、一、向量范数（向量范数（/*Vector Norm*/）设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足非负性：非负性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：且且则称则称 为为 中向量中向量 的的范数范数。非负实值非负实值函数函数 称为称为赋范赋范线性空间线性空间现在学习的是第2页，共26页 常用的几种常用的几种向量范数：向量范数：设设 1-范数：范数：2-范数：范数：-范数：范数：上述上述3种向量范数统称为种向量范数统称为P-范数范数(或者或者H
2、older范数范数)现在学习的是第3页，共26页例例1 1：设设 是是n阶实对称阶实对称正定正定矩阵，则矩阵，则是是 中的一种向量范数。中的一种向量范数。证明：证明：只需验证范数的只需验证范数的3个条件成立即可。个条件成立即可。非负性非负性：齐次性齐次性：三角不等性：三角不等性：存在非奇异存在非奇异下三角下三角阵阵现在学习的是第4页，共26页 向量范数的性质：向量范数的性质：性质性质1证明：证明：同理同理性质性质2的所有向量范数是的所有向量范数是彼此等价彼此等价的。的。现在学习的是第5页，共26页（等价性（等价性/*Equivalence Property*/）设设 和和 是是 上定义的两种范
3、数，如果存在上定义的两种范数，如果存在正数正数满足满足则称则称 和和 是是 上等价的向量范数。上等价的向量范数。这个性质说明，这个性质说明，中的一切范数都是等价的。中的一切范数都是等价的。现在学习的是第6页，共26页等价性质举例：等价性质举例：现在学习的是第7页，共26页二、二、矩阵范数（矩阵范数（/*Matrix Norm*/）非负性：非负性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：且且则称则称 为为 中矩阵中矩阵 的的范数范数。赋范赋范线性空间线性空间设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足现在学习的是第8页，共26页其中其中称
4、之为矩阵称之为矩阵 的的迹迹是是 的的特征值特征值设设 是是 上的范数，上的范数，是是 上的范数上的范数如果对如果对 满足满足则称上述矩阵范数与向量范数则称上述矩阵范数与向量范数相容相容。Def4Def4现在学习的是第9页，共26页从属性从属性（/*Subordination*/）设矩阵范数设矩阵范数 与向量范数与向量范数 相容相容，且对每一个，且对每一个都存在一个都存在一个非零向量非零向量 满足满足则称则称 是是从属于从属于向量范数向量范数 的矩阵范数。的矩阵范数。以后若不特别声明，所用范数均满足以后若不特别声明，所用范数均满足相容性相容性和和从属性从属性现在学习的是第10页，共26页对于对
5、于 中的每一种向量范数中的每一种向量范数 ，中中 至少存在一种至少存在一种从属于从属于它的矩阵范数：它的矩阵范数：Def Def 6 6称为矩阵称为矩阵A的的算子范数算子范数。现在学习的是第11页，共26页上述定义中分别取向量的上述定义中分别取向量的1、2、范数范数从而得到常用的从而得到常用的3种分别从属于它们的矩阵范数：种分别从属于它们的矩阵范数：列范数：列范数：记记行范数：行范数：谱范数：谱范数：其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值谱半径谱半径现在学习的是第12页，共26页例例3 3：给定矩阵给定矩阵求矩阵求矩阵 的的1、2、范数。范数。若若 是是实对称实对称矩阵，则矩阵，则矩阵矩阵
6、的特征值为的特征值为现在学习的是第13页，共26页现在学习的是第14页，共26页三、三、方程组的性态和条件数方程组的性态和条件数 由实际问题得到的方程组的由实际问题得到的方程组的系数矩阵系数矩阵或者或者常数向量常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会计算过程中就会向前传播向前传播，从而影响到方程组的解。，从而影响到方程组的解。初始数据初始数据误差和方程组的近似解的误差之间误差和方程组的近似解的误差之间关系关系例例12 12 考察方程组：考察方程组：精确解为精确解为现在学习的是第15页，共26页设方程组存在设方程组
7、存在扰动扰动精确解为精确解为上例说明该方程组的上例说明该方程组的解解对初始元素的对初始元素的扰动扰动非常非常敏感敏感。设方程组为设方程组为系数矩阵系数矩阵 和常数向量和常数向量 的的扰动扰动分别记为：分别记为：和和实际实际求解的方程组为求解的方程组为现在学习的是第16页，共26页反之，如果反之，如果 和和 微小时，微小时，也微小，则称也微小，则称方程组方程组 为为良态良态(/*Well-conditioned*/)方程组，方程组，称系数矩阵称系数矩阵 为关于求解方程组为关于求解方程组良态良态矩阵。矩阵。病态病态方程组对任何算法都将产生方程组对任何算法都将产生数值不稳定数值不稳定性性 如果如果
8、和和 很小，而很小，而 很大，则称很大，则称方程组方程组 为为病态病态(/*ill-conditioned*/)方程组，方程组，称系数矩阵称系数矩阵 为关于求解方程组为关于求解方程组病态病态矩阵；矩阵；7现在学习的是第17页，共26页若若矩阵范数取矩阵范数取2-范数，则得到范数，则得到谱条件数谱条件数：若若矩阵范数取矩阵范数取1-范数，则得到范数，则得到1-条件数条件数：若若矩阵范数取矩阵范数取 -范数，则得到范数，则得到 -条件条件数数：设设 为可逆阵，为可逆阵，为一种为一种从属从属矩阵范矩阵范数，则称数，则称 为矩阵为矩阵 的的条件数条件数 8现在学习的是第18页，共26页现在学习的是第19页，共26页例例 5现在学习的是第20页，共26页现在学习的是第21页，共26页现在学习的是第22页，共26页现在学习的是第23页，共26页现在学习的是第24页，共26页现在学习的是第25页，共26页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第26页，共26页