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1、1一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导数连续,在点 t 可导,则复合函数且有链式法则 中间变量是一元函数的情形若定理中 说明:偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.第1页/共28页2若定理中 说明说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.第2页/共28页3下列两个例题有助于称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设掌握这方面问题的求导技巧。常用导数符号常用导数符号第3页/共28页4推广推广:1、中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2、中间变量是多元函数的情形.例如,第4页/共28页53、
2、中间变量只有一个的情形中间变量只有一个的情形例如:注:由于是一元函数,则它对的导数应该采用一元函数的导数记号例1.设 求全导数解:第5页/共28页6又如又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,第6页/共28页7例例1.设设解:第7页/共28页8例例2 2 设设解:第8页/共28页9求例例3已知 f 可微，第9页/共28页10例例4已知连续,求解第10页/共28页11例例5 5 已知已知求解f 具有二阶连续偏导数,第11页/共28页12例例6.设设 f 具有二阶连续偏导数,求解:令则第12
3、页/共28页13例例7 已知已知解:第13页/共28页14主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学高等数学 第七讲第14页/共28页15二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.第15页/共28页16例1.例例 1.利用全微分形式不变性再解解:所以第16页/共28页17解解 例例2.已知已知第17页/共28页18的全微分.例例3.计算函数计算函数解:第18页/共28页19例例4.设设解法1 利用公式有第19页/共28页20例例4.设设解法2 利用微分形式的不变性有
4、第20页/共28页21内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,第21页/共28页22习题习题B2(1)求下列函数的偏导数证明设 当时，于是：证明：因此第22页/共28页23作业作业P82 2;4;8（1）（2）9;12(2);第23页/共28页24思考与练习思考与练习解答提示:P82 题7P82 题7;P131 题11第24页/共28页25P131题题 11第25页/共28页26例例5解法一:利用微分形式的不变性有第26页/共28页27例例8 求设函数解:由题设第27页/共28页28感谢您的观看！第28页/共28页