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1、2023/2/211线性系统的运动分析线性系统的运动分析-齐次状态方程齐次状态方程(1)(1)若若a a为标量，初始时刻为标量，初始时刻 x(tx(t0 0)=x=x0 0,则：则：(2)(2)若若A A为方阵时，将上式推广之：为方阵时，将上式推广之：假设假设是绝对收敛的。是绝对收敛的。为矩阵指数为矩阵指数。称称齐次状态方程：齐次状态方程：即控制输入为零。即控制输入为零。？第2页/共62页第1页/共62页2023/2/212第3页/共62页第2页/共62页2023/2/213线性系统的运动分析线性系统的运动分析-齐次状态方程齐次状态方程非齐次状态方程：非齐次状态方程：(1)(1)若若A A、B
2、 B为标量，初始时刻为标量，初始时刻 x(tx(t0 0)=x=x0 0,则：则：(2)(2)若若A A、B B为矩阵时，将上式推广之：为矩阵时，将上式推广之：第4页/共62页第3页/共62页2023/2/214连续定常齐次状态方程的解连续定常齐次状态方程的解 状态转移矩阵状态转移矩阵连续定常系统非齐次方程解连续定常系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续线性系统的离散化连续线性系统的离散化线性离散状态方程的解线性离散状态方程的解第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第5页/共62页第4页/共62页2023/2/215线性系统的运动分析线性系统的运动分析
3、-状态转移矩阵状态转移矩阵由由 推而广之有：推而广之有：状态转移矩阵：状态转移矩阵：矩阵指数：矩阵指数：称称为为A的矩阵指数。的矩阵指数。由齐次方程的自由解：由齐次方程的自由解：可知，由于可知，由于 的存在，只要已知的存在，只要已知，任一时刻的任一时刻的x(t)都会变成已知。都会变成已知。第6页/共62页第5页/共62页2023/2/216即从时间的角度而言，即从时间的角度而言，随着时间的推移，不断的在状态空间中做转移，所以随着时间的推移，不断的在状态空间中做转移，所以意味着它能够使得状态矢量意味着它能够使得状态矢量称称为状态转移矩阵，通常记为为状态转移矩阵，通常记为 对于对于 线性系统的运动
4、分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第7页/共62页第6页/共62页2023/2/217同样用同样用 也可表示之：也可表示之：状态转移矩阵的组合状态转移矩阵的组合状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质1 1、组合性、组合性线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第8页/共62页第7页/共62页2023/2/2182 2、不变性、不变性3 3、逆转性或可逆性、逆转性或可逆性当且仅当AB=BA时，有 4 4、不可交换性、不可交换性当 请同学们用矩阵指数的展开式来自己证明。线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转
5、移矩阵第9页/共62页第8页/共62页2023/2/2195 5、可微性、可微性线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第10页/共62页第9页/共62页2023/2/2110几个特殊的矩阵指数函数：1 1）对角阵）对角阵线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第11页/共62页第10页/共62页2023/2/21112 2）约当块）约当块线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第12页/共62页第11页/共62页2023/2/21123 3）模态阵）模态阵 线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第13页
6、/共62页第12页/共62页2023/2/2113矩阵指数函数的几种计算方法矩阵指数函数的几种计算方法 1 1）由）由 的定义或展开式直接计算的定义或展开式直接计算 2 2）变换矩阵）变换矩阵A A为约旦标准型为约旦标准型 A单根时：单根时：A有重根时：有重根时：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵A有复根时：有复根时：第14页/共62页第13页/共62页2023/2/2114 解：解：求特征值，由求特征值，由 得：得：求特征向量求特征向量，并组成变换矩阵并组成变换矩阵P及及P-1 线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵(采用变换矩阵法采用变换
7、矩阵法)例例1 1第15页/共62页第14页/共62页2023/2/2115 求约当标准形 求 线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第16页/共62页第15页/共62页2023/2/2116线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵例例2 2第17页/共62页第16页/共62页2023/2/21173 3）利用拉氏变换法求）利用拉氏变换法求 证：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第18页/共62页第17页/共62页2023/2/2118(采用拉氏变换法采用拉氏变换法)例例3 3线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转
8、移矩阵状态转移矩阵解：第19页/共62页第18页/共62页2023/2/2119线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第20页/共62页第19页/共62页2023/2/21204 4）应用凯莱）应用凯莱哈密顿定理求哈密顿定理求 线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵凯莱凯莱哈密顿定理：哈密顿定理：若方阵若方阵 的特征方程为：的特征方程为：第21页/共62页第20页/共62页2023/2/2121即是 的线性组合，也均是的线性组合。如何确定如何确定线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第22页/共62页第21页/共62页20
9、23/2/2122=1 1）当）当A A的特征值互异时的特征值互异时，的确定方法的确定方法：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第23页/共62页第22页/共62页2023/2/21232)2)当当A A的特征根有重根的特征根有重根（n n重特征根重特征根）线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第24页/共62页第23页/共62页2023/2/2124(凯莱凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理)例例4 4线性系统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵解：求特征值 ：计算 第25页/共62页第24页/共62页2023/2/2125线性系
10、统的运动分析线性系统的运动分析-状态转移矩阵状态转移矩阵第26页/共62页第25页/共62页2023/2/2126连续定常齐次状态方程的解连续定常齐次状态方程的解 状态转移矩阵状态转移矩阵连续定常系统非齐次方程解连续定常系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续线性系统的离散化连续线性系统的离散化线性离散状态方程的解线性离散状态方程的解第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第27页/共62页第26页/共62页2023/2/2127对于一阶微分方程：对于一阶微分方程：如果求其解的话，我们先应得到其其次方程的通解：如果求其解的话，我们先应得到其其次方程的通解：
11、两者之和就是一阶微分方程的解。两者之和就是一阶微分方程的解。然后再求由然后再求由u u的作用而对应的特解，的作用而对应的特解，将其推广到矩阵形式：将其推广到矩阵形式：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程第28页/共62页第27页/共62页2023/2/2128线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程叠加原理第29页/共62页第28页/共62页2023/2/2129证：证：反变换（卷积定理）反变换（卷积定理）求下述系统在单位阶跃函数作用下的解：求下述系统在单位阶跃函数作用下的解：u=1(t)线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程例例5
12、5第30页/共62页第29页/共62页2023/2/2130线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程解：解：求：求（约当标准法，拉氏反变换法，（约当标准法，拉氏反变换法，定义法，凯莱定义法，凯莱哈密顿法）哈密顿法）：按 第31页/共62页第30页/共62页2023/2/2131线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程例例6 6第32页/共62页第31页/共62页2023/2/2132线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程第33页/共62页第32页/共62页2023/2/2133线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程第3
13、4页/共62页第33页/共62页2023/2/2134 特别要说明的是：在特定的控制作用下，如脉特别要说明的是：在特定的控制作用下，如脉冲函数，阶跃函数和斜坡函数，则冲函数，阶跃函数和斜坡函数，则的形式可以得到简化（从而避免积分计算）。的形式可以得到简化（从而避免积分计算）。1 1、输入是脉冲信号：、输入是脉冲信号：2 2、输入是阶跃信号：、输入是阶跃信号：3 3、输入是斜坡信号：、输入是斜坡信号：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-非齐次方程非齐次方程第35页/共62页第34页/共62页2023/2/2135连续定常齐次状态方程的解连续定常齐次状态方程的解 状态转移矩阵状态转移矩阵连续定常
14、系统非齐次方程解连续定常系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续线性系统的离散化连续线性系统的离散化线性离散状态方程的解线性离散状态方程的解第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第36页/共62页第35页/共62页2023/2/2136线性系统的运动分析线性系统的运动分析-时变系统时变系统(t,t(t,t0 0)称为状态转移矩阵对应定常系统(t-t(t-t0 0)第37页/共62页第36页/共62页2023/2/2137线性系统的运动分析线性系统的运动分析-时变系统时变系统第38页/共62页第37页/共62页2023/2/2138线性系统的运动分析线性系
15、统的运动分析-时变系统时变系统第39页/共62页第38页/共62页2023/2/2139作业：作业：p872-3,2-4,2-5,2-6 第40页/共62页第39页/共62页2023/2/2140连续定常齐次状态方程的解连续定常齐次状态方程的解 状态转移矩阵状态转移矩阵连续定常系统非齐次方程解连续定常系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续线性系统的离散化连续线性系统的离散化线性离散状态方程的解线性离散状态方程的解第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第41页/共62页第40页/共62页2023/2/2141连续系统离散化的三个条件采样方式为以常数T为周
16、期的等间隔采样，采样时间T采样周期T满足香农采样定理保持器为零阶保持器连续系统保持器计算机采样器D/AA/D线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散化离散化u(t)u(k)y(t)y(k)第42页/共62页第41页/共62页2023/2/2142近似离散化近似离散化 当当T T很小时，有很小时，有 整理可得：整理可得：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散化离散化第43页/共62页第42页/共62页2023/2/2143比较此式与离散化后的离散状态方程不难得到：比较此式与离散化后的离散状态方程不难得到：令：令：由状态方程的解可知由状态方程的解可知：离散化方法离散化方法-定常系统定常系统令
17、 并注意到此时并注意到此时 线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散化离散化第44页/共62页第43页/共62页2023/2/2144线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散化离散化试将下列状态方程离散化试将下列状态方程离散化例例7 7解：解：(1)(1)用状态方程的解离散化用状态方程的解离散化第45页/共62页第44页/共62页2023/2/2145(2)近似离散：T的大小对近似算法精度的影响见P85中的表2-1线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散化离散化第46页/共62页第45页/共62页2023/2/2146离散化方法离散化方法-时变系统时变系统线性系统的运动分析线性系统的运动
18、分析-离散化离散化第47页/共62页第46页/共62页2023/2/2147线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散化离散化离散系统的状态转移阵是什么？离散系统的状态转移阵是什么？第48页/共62页第47页/共62页2023/2/2148连续定常齐次状态方程的解连续定常齐次状态方程的解 状态转移矩阵状态转移矩阵连续定常系统非齐次方程解连续定常系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续时变系统非齐次方程解连续线性系统的离散化连续线性系统的离散化线性离散状态方程的解线性离散状态方程的解第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第49页/共62页第48页/共62页2023/2/2149离
19、散时间系统状态方程的两种解法：递推法迭代法Z变换法只能用于求解定常系统一、递推法一、递推法(迭代法迭代法)线性离散时间系统的状态空间表达式为：线性离散时间系统的状态空间表达式为：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第50页/共62页第49页/共62页2023/2/2150这个一阶差分方程组的解为这个一阶差分方程组的解为：证：证：用迭代法解矩阵差分方程：用迭代法解矩阵差分方程：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第51页/共62页第50页/共62页2023/2/2151 k=0 ：k=1 ：k=2 ：k=k-1：这就是前面的
20、通式这就是前面的通式线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第52页/共62页第51页/共62页2023/2/2152整理成矩阵表达式：整理成矩阵表达式：容易记忆容易记忆 线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第53页/共62页第52页/共62页2023/2/2153线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 二、二、Z Z变换法变换法 第54页/共62页第53页/共62页2023/2/2154几点说明：1)1)离散方程的求解在形式上与连续系统的类似是：离散方程的求解在形式上与连续系统的类似是：离散方
21、程的解离散方程的解 =通解通解 +特解特解 其次方程解其次方程解与输入与输入u u有关的部分有关的部分2)2)离散方程的解在时间上是离散的，不像连续状态离散方程的解在时间上是离散的，不像连续状态方程其解是时间连续的。方程其解是时间连续的。3)3)由输入引起的响应由输入引起的响应 ：k k时刻的状态只与在此采样时刻的状态只与在此采样时刻以前的输入采样值有关，而与该时刻的输入采样时刻以前的输入采样值有关，而与该时刻的输入采样无关。无关。线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第55页/共62页第54页/共62页2023/2/2155二、离散系统的状态转移阵：二、离散
22、系统的状态转移阵：由离散系统状态方程的解，比较连续系统可知有：由离散系统状态方程的解，比较连续系统可知有：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第56页/共62页第55页/共62页2023/2/2156离散系统状态转移矩阵的计算：离散系统状态转移矩阵的计算：线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 例例8 8第57页/共62页第56页/共62页2023/2/2157线性系统的运动分析线性系统的运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第58页/共62页第57页/共62页2023/2/2158例例9 9线性系统的运动分析线性系统的
23、运动分析-离散状态方程的解离散状态方程的解 第59页/共62页第58页/共62页2023/2/21592.52.5线性定常离散状态方程的解线性定常离散状态方程的解 第60页/共62页第59页/共62页2023/2/2160本章小节：本章讲的几个问题：状态方程的解 齐次 非齐次 的概念和性质及求解方法 离散系统的状态方程(齐次，非其次)解，转移阵 ，(性质要少一些)连续状态方程化为离散状态方程。第61页/共62页第60页/共62页2023/2/2161本章小节：本章最重要的两点(包括 的一系列求解方法)状态方程解的形式 连续 离散 第62页/共62页第61页/共62页2023/2/21北京科技大学自动化学院控制科学与工程系62感谢您的欣赏！第62页/共62页