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1、线性代数教案第1页，共17页，编辑于2022年，星期一本节主要内容1.向量的定义；2.向量的运算；加法运算数乘运算运算律3.向量的线性关系；向量的线性关系；线性组合（线性表示）线性组合（线性表示）线性相关线性相关线性无关线性无关第2页，共17页，编辑于2022年，星期一两种主要的同解变形：（1）用一个非零数乘以方程的两端；（2）两个方程相加。相当于对数组 进行相应的运算。由以前解线性方程组的经验知道，对于方程组第3页，共17页，编辑于2022年，星期一向量(Vector)的定义定义：由n个数 组成的有序数组 称为一个n维行向量维行向量，简称向量向量；n称为向量的维数维数；称为向量的分量分量（或
2、坐标坐标）。向量一般用小写希腊字母 表示定义：一切n维行向量所构成的集合用 表示，称为n维向量维向量空间空间，即分量都是零的向量称为零向量零向量，记为0，即0=(0,0,0).向量 称为 的负向量，记为第4页，共17页，编辑于2022年，星期一向量的运算设有数及n维向量向量相等：向量加法：向量减法：向量数乘：向量的加法及数乘两种运算统称为向量的线性运算线性运算.由于向量可以看成是行矩阵，所以向量的加法与数乘运算与矩阵是一致的.第5页，共17页，编辑于2022年，星期一向量的运算律加法运算律：数乘运算律：第6页，共17页，编辑于2022年，星期一方程的个数与未知数的个数的大小关系决定方程组解的个
3、数：当方程的个数大于未知数的个数：无解；当方程的个数等于未知数的个数：有惟一解；当方程的个数小于未知数的个数：有无穷多解.因此确定方程的个数非常重要。要知道某个方程能不能由其他方程经过同解变换得到，只要知道这个方程相应的向量能不能用其他方程对应的向量线性表示出来就行了。由以前解线性方程组的经验知道，对于方程组第7页，共17页，编辑于2022年，星期一向量的线性关系定义：设 ，如果存在一组数使得则称向量 可以由向量组 线性表示线性表示，或者称向量 是向量组 的线性组合线性组合.由定义知：零向量是任意向量组的线性组合.定义：设 ，若存在不全为零的数使得则称向量组 线性相关线性相关；否则称它们线性无
4、关线性无关.第8页，共17页，编辑于2022年，星期一结论1：向量组 线性相关等价于以 为未知量的方程有非零解；结论结论2：向量组 线性相关等价于等价于不止一组解；结论结论3：向量组 线性无关等价于等价于结论4：向量组 线性无关则 线性无关.正是由于有结论2和结论3，在讨论向量组的线性相关性的时候，经常讨论方程的解的情况：有惟一解时线性无关；解不惟一时线性相关.小结第9页，共17页，编辑于2022年，星期一例题1 讨论n维向量组的线性相关性.解：设有一组数 ，使得即所以由此可知 线性无关.由于任何一个n维向量都可以用 线性表示出来，所以称向量组 为n维单位坐标向量组维单位坐标向量组.小结第10
5、页，共17页，编辑于2022年，星期一例题2（练习）：讨论下列向量组的线性相关性.解 设有一组数 使得即由于该方程组系数行列式从而方程组有惟一一组解，即只有零解.因此向量组线性无关.第11页，共17页，编辑于2022年，星期一例题3 若向量组 线性无关，证明向量组线性无关.第12页，共17页，编辑于2022年，星期一定理定理 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 可以由 线性表示.定理定理 向量组 线性相关的充要条件充要条件是该向量组中至少有一个是其余向量的线性组合.推论 向量组线性无关的充要条件充要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示.小结定理定理 线性相关向量组添加
6、向量后仍然线性相关；线性无关向量组去掉向量后仍然线性无关；线性无关向量组中每个向量扩大扩大相同的维数仍然线性无关；线性相关向量组中每个向量缩小缩小相同的维数仍然线性相关。第13页，共17页，编辑于2022年，星期一向量的线性相关性与线性方程组的关系对于线性方程组：未知量个数等于方程个数方程组有惟一解；未知量个数多于方程个数方程组有无穷组解；未知量个数少于方程个数方程组无解.考虑n个未知量n个方程（可能有多余的方程）的线性方程组，每个方程都对应一个n1维的向量：（1）线性方程组的系数行列式不等于零方程组有惟一解方程组没有多余的方程 任何一个方程都不能由其余方程经过同解变换得到 任何一个向量都不能
7、由其余向量线性表示这个方程组对应的n个向量线性无关；（2）线性方程组的系数行列式等于零=方程组有一组以上解方程组有多余的方程 某个方程可以由其余方程经过同解变换得到 某个向量可以由其余向量线性表示这个方程组对应的n个向量线性相关.小结第14页，共17页，编辑于2022年，星期一练习课本课本P63 习题二习题二2.12（1）（）（2）2.13（1）（）（3）第15页，共17页，编辑于2022年，星期一小结本节要求掌握内容：1.线性相关性的定义与结论；2.讨论向量组线性相关性的常用方法；3.线性相关性的两个充要条件；4.向量的线性相关性与线性方程组的关系.第16页，共17页，编辑于2022年，星期一作业课本课本P63 习题二习题二2.12.62.8第17页，共17页，编辑于2022年，星期一