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1、线性代数基础第1页，共94页，编辑于2022年，星期一v向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具.其“有力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上。v学习基础知识，在专业课程中进一步认知，在科学研究中应用。第2页，共94页，编辑于2022年，星期一线性空间集合：笼统地说是指一些事物（或者对象，称为元素）组成的整体。集合的表示：枚举、表达式，如 集合的运算：并，交，补第3页，共94页，编辑于2022年，星期一v数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域(Q)、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。v线性空间是线性代数最基本的概念之一，
2、也是学习矩阵理论的重要基础。线性空间的概念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象。第4页，共94页，编辑于2022年，星期一线性空间的定义第5页，共94页，编辑于2022年，星期一第6页，共94页，编辑于2022年，星期一第7页，共94页，编辑于2022年，星期一注意几点v线性空间不能离开某一数域来定义。实际上，线性空间不能离开某一数域来定义。实际上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间。不能成为线性空间。v两种运算、八条性质两种运算、八条性质第8页，共94页，编辑
3、于2022年，星期一v数域中的运算是具体的四则运算，而线性空数域中的运算是具体的四则运算，而线性空间中定义的加法运算和数乘运算则可以十分间中定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象抽象。v当数域为实数域时，就称为实线性空间；为当数域为实数域时，就称为实线性空间；为复数域，就称为复线性空间。复数域，就称为复线性空间。第9页，共94页，编辑于2022年，星期一第10页，共94页，编辑于2022年，星期一第11页，共94页，编辑于2022年，星期一第12页，共94页，编辑于2022年，星期一第13页，共94页，编辑于2022年，星期一第14页，共94页，编辑于2022年，星期一第15页，共94页，编辑
4、于2022年，星期一第16页，共94页，编辑于2022年，星期一v线性空间中零元素是唯一的，v任一元素的负元素也是唯一的。v0*x=0(第一个0是数0，第二个0是线性空间中的零元素)v(-1)*x=-x第17页，共94页，编辑于2022年，星期一线性空间的维数、基、坐标线性相关性v 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。第18页，共94页，编辑于2022年，星期一第19页，共94页，编辑于2022年，星期一第20页，共94页，编辑于2022年，星期一第21页，共94页，编辑于2022年，星期一线性空间的维数v定义：线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数，记为d
5、im(V)。v本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。第22页，共94页，编辑于2022年，星期一线性空间的基与坐标第23页，共94页，编辑于2022年，星期一v基正是V中最大线性无关元素组；V的维数正是基中所含元素的个数。v基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。第24页，共94页，编辑于2022年，星期一第25页，共94页，编辑于2022年，星期一第26页，共94页，编辑于2022年，星期一第27页，共94页，编辑于2022年，星期一第28页，共94页，编辑于2022年，星期一第29页，共94页，编辑于2022年，星期一基变换与坐标变换v我们研究当基变换时，同一个向量在不同基下的坐
6、标会有什么关系。第30页，共94页，编辑于2022年，星期一第31页，共94页，编辑于2022年，星期一第32页，共94页，编辑于2022年，星期一第33页，共94页，编辑于2022年，星期一第34页，共94页，编辑于2022年，星期一线性子空间线性子空间 v一、线性子空间的定义及其性质一、线性子空间的定义及其性质v定义：设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件如果x、y属于V1，则xy属于V1；（加法封闭）如果x属于V1，k属于K，则kx属于V1，（数乘封闭）v则称V1是V的一个线性子空间线性子空间或子空间子空间。第35页，共94页，编辑于2022年，星
7、期一分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：平凡子空间：00和和V V本身本身非平凡子空间：除以上两类子空间非平凡子空间：除以上两类子空间性质：（性质：（性质：（性质：（1 1）线性子空间）线性子空间）线性子空间）线性子空间V1V1与线性空间与线性空间与线性空间与线性空间V V享有共同的零享有共同的零享有共同的零享有共同的零元素；元素；元素；元素；（2 2）V1V1中元素的负元素仍在中元素的负元素仍在中元素的负元素仍在中元素的负元素仍在V1V1中。中。中。中。第36页，共94页，编辑于2022年，星期一第37页，共94页，编辑于2022年
8、，星期一第38页，共94页，编辑于2022年，星期一基扩定理：基扩定理：设设V V1 1是数域是数域K K上的线性空间上的线性空间V Vn n的一个的一个mm维子空间，维子空间，x x1 1、x x2 2、x xmm是是V V1 1的一个基，则这的一个基，则这mm个基向量个基向量必可扩充为必可扩充为V Vn n的一个基；的一个基；换言之，在换言之，在V Vn n中必可找到中必可找到n-mn-m个元素个元素x xm+1m+1、x xm+2m+2、x xn n，使得，使得x x1 1、x x2 2、x xn n成为成为V Vn n的一的一个基。这个基。这n-mn-m个元素必不在个元素必不在V V1
9、 1中。中。第39页，共94页，编辑于2022年，星期一子空间的交与和子空间的交与和v定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，称 分别称为V1和V2的交与和。第40页，共94页，编辑于2022年，星期一第41页，共94页，编辑于2022年，星期一第42页，共94页，编辑于2022年，星期一第43页，共94页，编辑于2022年，星期一线性变换及其矩阵线性变换及其矩阵 第44页，共94页，编辑于2022年，星期一 例例1 1 二维实向量空间二维实向量空间 ，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。证明证明 第45页，共94页，编辑于2022年，星期一第4
10、6页，共94页，编辑于2022年，星期一第47页，共94页，编辑于2022年，星期一第48页，共94页，编辑于2022年，星期一所以，所以，T T是线性变换。是线性变换。第49页，共94页，编辑于2022年，星期一 证明证明 显然显然DD对对 而言是变换，而言是变换，要证明满足线性变换的条件要证明满足线性变换的条件.例例2 2 次数不超过次数不超过n n的全体实多项式的全体实多项式 构成实数域上的一个构成实数域上的一个n+1n+1维的线性空间，微分算子维的线性空间，微分算子 是是 上上的一个线性变换。的一个线性变换。显然，微分算子线性变换第50页，共94页，编辑于2022年，星期一线性变换的性
11、质v线性变换把零元素仍变为零元素T(0)=0v负元素的象为原来元素的象的负元素,即 T(-x)=-T(x)v线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组第51页，共94页，编辑于2022年，星期一v应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，v若线性变换将所有的线性无关的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为可逆的线性变换，其变换矩阵为可逆矩阵。第52页，共94页，编辑于2022年，星期一线性变换的运算 第53页，共94页，编辑于2022年，星期一第54页，共94页，编辑于2022年，星期一线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示 v线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为
12、具体的矩阵形式。第55页，共94页，编辑于2022年，星期一第56页，共94页，编辑于2022年，星期一第57页，共94页，编辑于2022年，星期一因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。可以了。第58页，共94页，编辑于2022年，星期一第59页，共94页，编辑于2022年，星期一第60页，共94页，编辑于2022年，星期一第61页，共94页，编辑于2022年，星期一第62页，共94页，编辑于2022年，星期一第63页，共94页，编辑于2022年，星期一第64页，共94页，编辑于2022年，星期一第65页，共94页，编辑
13、于2022年，星期一第66页，共94页，编辑于2022年，星期一第67页，共94页，编辑于2022年，星期一第68页，共94页，编辑于2022年，星期一第69页，共94页，编辑于2022年，星期一第70页，共94页，编辑于2022年，星期一第71页，共94页，编辑于2022年，星期一特征值与特征向量第72页，共94页，编辑于2022年，星期一第73页，共94页，编辑于2022年，星期一第74页，共94页，编辑于2022年，星期一第75页，共94页，编辑于2022年，星期一第76页，共94页，编辑于2022年，星期一 矩阵的迹与行列式 矩阵的迹为矩阵所有对角元素之和矩阵的迹为矩阵所有对角元素之和
14、 第77页，共94页，编辑于2022年，星期一第78页，共94页，编辑于2022年，星期一线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核 v定义：设T是线性空间Vn的线性变换，R(T)和N(T)均为V的子空间第79页，共94页，编辑于2022年，星期一v设A为 阶矩阵，称 dim(R(T)dim(R(T)、dim(N(T)dim(N(T)称为线性变换称为线性变换T T的秩和零度；的秩和零度；dim(R(A)dim(R(A)、dim(N(A)dim(N(A)称为矩阵称为矩阵A A的秩和零度；的秩和零度；第80页，共94页，编辑于2022年，星期一第81页，共94页，编辑于2022年，星期一di
15、m(R(T)+dim(N(T)=dim(V)?V=R(T)+N(T)?第82页，共94页，编辑于2022年，星期一定理若A是线性变换T的表示矩阵第83页，共94页，编辑于2022年，星期一内积空间v在平面或立体空间里，向量还有夹角、垂直、长度等概念。v我们在线性空间中引入内积的概念，这样，就能讨论向量之间的夹角，向量相互垂直、向量长度等概念。第84页，共94页，编辑于2022年，星期一第85页，共94页，编辑于2022年，星期一以以n n维向量空间为例：维向量空间为例：常用内积常用内积 第86页，共94页，编辑于2022年，星期一第87页，共94页，编辑于2022年，星期一酉空间常用内积酉空间常用内积第88页，共94页，编辑于2022年，星期一第89页，共94页，编辑于2022年，星期一第90页，共94页，编辑于2022年，星期一正交补与投影定理v我们知道，平面外的一点到平面的距离，垂线最短。v子空间外的一点，到子空间的距离，也有类似的性质第91页，共94页，编辑于2022年，星期一第92页，共94页，编辑于2022年，星期一第93页，共94页，编辑于2022年，星期一第94页，共94页，编辑于2022年，星期一