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1、自考-线性代数-第六章-实二次型解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 定义：定义：含有含有 n 个变量个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函的二次齐次函数数称为称为二次型二次型令令 aij=aji，则则 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是，于是对对称称阵阵对对称称阵阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线线性性变换变换与矩与矩阵阵之之间间存在着一一存在着一一对应对应关系关系.对对称称阵阵的的二次型二次型二次型二次型的矩的矩阵阵对对于二次型，于二次型，寻寻找可逆的找可逆的线
2、线性性变换变换使二次型只含平方使二次型只含平方项项，即，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定定义义：只含平方只含平方项项的二次型称的二次型称为为二次型的二次型的标标准形准形（或法式）（或法式）.如果如果标标准形的系数准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取三个数中取值值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则则上式称上式称为为二次型的二次型的规规范形范形说说明：明：这这里只里只讨论实讨论实二次型，所求二次型，所求线线性性变换变换也限于也限于实实数范数范围围.简记为简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T
3、 A(C y)=yT(CTAC)y写出二次型对应的对称矩阵A。解：可根据所给的二次型的各个系解：可根据所给的二次型的各个系数直接写出对应的对称矩阵数直接写出对应的对称矩阵例例1写出由对称矩阵确定的二次型。解：可根据所给的对称矩阵直接写解：可根据所给的对称矩阵直接写出对应的二次型出对应的二次型例例2【练习【练习109】三元二次型的矩阵为（）。A B C DA【练习【练习110】实对称矩阵 所对应的二次型 _【练习【练习111】二次型的矩阵是_。【练习【练习112】二次型的秩是_。2【解】【解】秩为秩为2【练习【练习113】实对称矩阵 所对应的二次型是_【练习【练习114】二次型的秩是().A1
4、B2 C3 D4C【解】【解】秩为秩为3【练习【练习115】二次型 =的正惯性指数为 .1【解】只有【解】只有 的系数是正的。的系数是正的。定定义义：设设 A,B 都是都是 n 阶阶矩矩阵阵，若有可逆矩若有可逆矩阵阵 P 满满足足P 1AP=B，则则称矩称矩阵阵A 和和 B 相似相似（P.121定定义义7）定定义义：设设 A,B 都是都是 n 阶阶矩矩阵阵，若有可逆矩若有可逆矩阵阵 C 满满足足CTAC=B，则则称矩称矩阵阵A 和和 B 合同合同（P.129定定义义9）显显然，然，pBT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若即若 A 为对为对称称阵阵，则则 B 也也为对为对称称
5、阵阵pR(B)=R(A)经过经过可逆可逆变换变换后，二次型后，二次型 f 的矩的矩阵阵由由 A 变为变为与与 A 合同的矩合同的矩阵阵CTAC，且二次型的秩不，且二次型的秩不变变若二次型若二次型 f 经过经过可逆可逆变换变换 x=C y 变为标变为标准形，即准形，即问题问题：对对于于对对称称阵阵 A，寻寻找可逆矩找可逆矩阵阵 C，使，使 CTAC 为对为对角角阵阵,（把（把对对称称阵阵合同合同对对角化）角化）定定义义：如果如果 n 阶阶矩矩阵阵A 满满足足 ATA=E，即即 A1=AT，则则称矩称矩阵阵A 为为正交矩正交矩阵阵，简简称称正交正交阵阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对阶对称称阵
6、阵，则则必有必有正交正交阵阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征个特征值为对值为对角元的角元的对对角角阵阵（不唯一）（不唯一）.（P.124定理定理7）定理：定理：任任给给二次型二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总总存在存在正交正交变换变换 x=P y，使，使 f 化化为为标标准形准形 f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2 其中其中 l l1,l l2,l ln 是是 f 的矩的矩阵阵 A 的特征的特征值值推推论论：任任给给二次型二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总总存在存在
7、可逆可逆变换变换 x=C z，使，使 f(Cz)为为规规范形范形推推论论：任任给给二次型二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总总存在存在可逆可逆变换变换 x=C z，使，使 f(C z)为规为规范形范形证证明：明：f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2若若R(A)=r，不妨，不妨设设 l l1,l l2,l lr 不等于零，不等于零，l lr+1=l ln=0,令令则则 K 可逆，可逆，变换变换 y=Kz 把把 f(P y)化化为为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中其中【例【例3】求一个正交求一个正交变换变
8、换 x=P y，把二次型，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化化为标为标准形准形【解】【解】二次型的矩二次型的矩阵阵根据根据P.125例例12的的结结果，有正交果，有正交阵阵使得使得于是正交于是正交变换变换 x=P y 把二次型化把二次型化为标为标准形准形f=2y12+y22+y32如果要把如果要把 f 化化为规为规范形，令范形，令 ，即，即可得可得 f 的的规规范形：范形：f=z12+z22+z32 在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？【例【例4】【解】这【解】这4个方阵的秩都同为个方阵的秩都同为3，因为，因为，A与与C的正惯性指数同为的正惯性指数同为1，所以，所
9、以A与与C合同。合同。B与与D的正惯性指数同为的正惯性指数同为2，所以，所以B与与D合同。但合同。但A与与B不合同，不合同，B与与C不合同。不合同。【练习【练习116】二次型 =经正交变换可化为标准形 .解解:用配方法用配方法【练习【练习117】求正交变换 ，将二次型 化为标准形，并指出 是否为正定二次型 解解:二次型的矩阵二次型的矩阵由由得得 的特征值为的特征值为对于对于 ，由，由 得特征向量得特征向量对于对于 ，由，由 得特征向量得特征向量将将 单位化，得单位化，得 令令 ，则，则 为正交矩阵，为正交矩阵，从而经正交变换从而经正交变换 ，将二次型化为标，将二次型化为标准形准形 由于由于 的
10、特征值都大于零，故的特征值都大于零，故 正定正定.6.2 正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵1.正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。2.半正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵。3.负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为负定二次型，矩阵A称为负定矩阵。4.半负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半负定二次型，矩阵A称为半负定矩阵。5.不定二次型其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵。以n=3为例。【例
11、【例6】（1）正定二次型：）正定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（2）半正定二次型：）半正定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（3）负定二次型：）负定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（4）半负定二次型：）半负定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（5）不定二次型：）不定二次型：对应的矩阵对应的矩阵 问是不是正定二次型？【例【例7】解：因为它对应的对称矩阵中的对角解：因为它对应的对称矩阵中的对角元素元素 ，所以它不是正定，所以它不是正定二次型。二次型。定理：n阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵A的n个顺序主子式Dk0,k=1,2,，n。判定 是不是正定矩阵。【例【例8】解：因为解：因为A的三个顺序主子式：的三个顺序
12、主子式：所以，所以，A是正定矩阵。是正定矩阵。问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例【例9】解：它是标准二次型。它是正定解：它是标准二次型。它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即正数，即得得 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例【例10】解：写出对应的对称矩阵解：写出对应的对称矩阵得得定理：矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 .称为 的顺序 阶主式，即 【练习【练习118】设矩阵设矩阵A=为正定矩阵，则为正定矩阵，则 的取值范围是的取值范围是_ 【解】【解】【练习【练习119】设矩阵设矩阵A=为正定矩阵，则为正定矩阵，则 的取值范围是的取值范围
13、是_ 【解】【解】【练习【练习120】已知二次型已知二次型 正定，则数正定，则数k的取值范围为的取值范围为_【解】【解】【练习【练习121】设设 ，则二次型，则二次型 是（是（）A正定正定 B负定负定C半正定半正定D不定已知二次型不定已知二次型 【解】【解】B负定。负定。【练习【练习122】设矩阵设矩阵A=，则二次型，则二次型 的规的规范形是范形是_【解】【解】其中其中【练习【练习123】二次型二次型 的规范形是（的规范形是（）ABC D【解】【解】其中其中 D【练习【练习124】设实对称矩阵设实对称矩阵 ，则，则3元二次型元二次型 的规范形为的规范形为（）（）ABC D【解】【解】D此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢