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1、关于勾股定理的应用折叠和展开问题第1页，讲稿共48张，创作于星期日12.如图，如图，ABC中，中，A=45，B=30，BC=8.求求AC的长的长.ABCD84442八年级下册勾股定理勾股定理-运用运用第2页，讲稿共48张，创作于星期日1.1.在在 ABCABC中中,C=90,AC=6,CB=8,C=90,AC=6,CB=8,则则 ABCABC面积为面积为_,_,斜边为上的高为斜边为上的高为_._.244.8ABCD练习练习&2面积法面积法第3页，讲稿共48张，创作于星期日1 1、已知：、已知：RtRtBCBC中，中，ABAB，ACAC,则则BCBC的长为的长为 .5 或或 4 43 3ACB4
2、 43 3CAB分类讨论分类讨论zxxkw第4页，讲稿共48张，创作于星期日 2.三角形三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上的高边上的高线线AD=8,求求BCDDABCABC1017817108分类讨论分类讨论zxxkw第5页，讲稿共48张，创作于星期日 1.小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外尺，另外一棵树高一棵树高20尺；两棵树干间的距离是尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同
3、样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？之间的何处？3020 x50-x方程思想方程思想第6页，讲稿共48张，创作于星期日 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多面还多1米，当他把绳子的下端拉开米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。接触地面，求旗杆的高度。x+1x51练习练习&1方程思想方程思想第7页，讲稿共48张，创作于星期日2.在在ABC中，中，AB=15，BC=14，AC=13，求求(1)AB
4、C的面积；的面积；(2)求腰求腰AC上的高上的高ABC151413Dx14-x12E方程思想方程思想面积法面积法第8页，讲稿共48张，创作于星期日ABC蚂蚁从蚂蚁从A A点经点经B B到到C C点的最少要爬了多少厘米？点的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的边长为（小方格的边长为1厘米）厘米）练习练习1:第9页，讲稿共48张，创作于星期日小明在平坦无障碍物的草地上小明在平坦无障碍物的草地上,从从A地向东走地向东走 3 m,再向北再向北走走 2 m,再向西走再向西走 1 m,再向北走再向北走 6 m,最后向东走最后向东走 4 m 到到达达 B 地地,求求 A、B 两地的最短距离是多
5、少两地的最短距离是多少?A3216B4c68答：答：A、B 两地的最短距离两地的最短距离是是10 米米.练习练习2:第10页，讲稿共48张，创作于星期日 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，他觉得厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？么吗？我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视厘米的电视机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角线的长度线的长度售货员没搞错售货员没搞错议议一
6、一议议荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米4658第11页，讲稿共48张，创作于星期日 以直角三角形三边为边作等边三角形以直角三角形三边为边作等边三角形,这这3个个等边三角形的面积之间有什么关系？等边三角形的面积之间有什么关系？ABCDEF 议一议议一议 第12页，讲稿共48张，创作于星期日（2）在长方形）在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1m，长，长BC为为2m，求求AC长长1 m2 mACBD在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知：第13页，讲稿共48张，创作于星期日活 动 2问题问题（1）在长方形）在长方形ABCD中中AB、BC、AC大小关系？大小关系
7、？ACBDABBCAC第14页，讲稿共48张，创作于星期日 1.在长和宽分别是在长和宽分别是40cm,30cm的文具盒中，能放的文具盒中，能放进一支长为进一支长为48cm的铅笔吗？的铅笔吗？40cm30cm分析：根据题意，关键是求分析：根据题意，关键是求对角线的长度。对角线的长度。x解：设对角线长为解：设对角线长为xcmxcm由勾股定理得：由勾股定理得：30302+40+402=x=x2x x2=2500=2500解得：解得：x=50 x=5050504848该该文具盒能放进一支长为文具盒能放进一支长为48cm的铅笔的铅笔z.xx.k八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用第15页
8、，讲稿共48张，创作于星期日活 动 2（2）一个门框尺寸如下图所示）一个门框尺寸如下图所示若有一块长若有一块长3米，宽米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽1.5米呢？米呢？若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽2.2米呢？为什么？米呢？为什么？ABC1 m2 m木板的宽木板的宽2.2米大于米大于1米，米，横着不能从门框通过；横着不能从门框通过；木板的宽木板的宽2.2米大于米大于2米，米，竖着也不能从门框通过竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，对只能试试斜着能否通过，对角线角线AC的长最大，因此需要求出的长最大，因此需要求
9、出AC的长，怎样求呢？的长，怎样求呢？第16页，讲稿共48张，创作于星期日想一想例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？解：在RtABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5AC=2.24因为 大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路A B C D 1 m 2 m 第17页，讲稿共48张，创作于星期日小东拿着一根长竹竿进一个宽为小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，
10、结果竹竿比城门高着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？竿长多少米？解解:设竹竿长设竹竿长X米米,则城门高为则城门高为(X1)米米.根据题意得根据题意得:32+(X1)2=X29+X2 2X+1=X210 2X=02X=10X=5答答:竹竿长竹竿长5米米第18页，讲稿共48张，创作于星期日有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽好等
11、于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与尺，求竹竿高与门高门高.解解:设竹竿高设竹竿高X尺尺,则门高为则门高为(X1)尺尺.根据题意得根据题意得:42+(X1)2=X216+X2 2X+1=X217 2X=02X=17X=8.5答答:竹竿高竹竿高8.5尺尺,门高为门高为 7.5尺尺.第19页，讲稿共48张，创作于星期日例例3:在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形尺的正方形,在水池的中在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面央有一根新生的
12、芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？多少？DABC解解:设水池的深度设水池的深度AC为为X米米,则芦苇高则芦苇高AD为为(X+1)米米.根据题意得根据题意得:BC2+AC2=AB252+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1 X=12 X+1=12+1=13(米)答答:水池的深度为水池的深度为12米米,芦苇高为芦苇高为13米米.第20页，讲稿共48张，创作于星期日（3）有一个边长为）有一个边长为50dm 的正方形洞口，
13、想用的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）（结果保留整数）50dmABCD解：解：在在Rt ABC中，中，B=90,AC=BC=50,由勾股定理可知：由勾股定理可知：第21页，讲稿共48张，创作于星期日想一想问题如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标为（x，0），（0，y），你能求这两点之间的距离吗？第22页，讲稿共48张，创作于星期日例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？DE解：在RtABC中，ACB=9
14、0 AC2+BC2AB2 2.42+BC22.52 BC0.7m由题意得：DEAB2.5mDCACAD2.40.42m在RtDCE中，BE1.50.70.8m0.4m答；梯子底端答；梯子底端B不是外移不是外移0.4m DCE=90 DC2+CE2DE2 22+BC22.52 CE1.5m第23页，讲稿共48张，创作于星期日在数学中也有这样一幅美在数学中也有这样一幅美丽的丽的“海螺型海螺型”图案图案由此可知由此可知,利用勾股定理利用勾股定理,可以作出长为可以作出长为111111111111111111第七届国际数学第七届国际数学教育大会的会徽教育大会的会徽1数学海螺图：数学海螺图：你能在数轴上表
15、示出你能在数轴上表示出的点吗？的点吗？的线段的线段.第24页，讲稿共48张，创作于星期日 -1 0 1 2 3 你能在数轴上表示出你能在数轴上表示出 的点吗？的点吗？你能在数轴你能在数轴上画出表示上画出表示 的点吗？的点吗？探究探究1:学.科.网第25页，讲稿共48张，创作于星期日012 23 34步骤：步骤：lA AB BC C1、在数轴上找到点、在数轴上找到点A,使使OA=3;2、作直线、作直线lOA,在在l上取一点上取一点B，使，使AB=2;3,以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作弧，弧与为半径作弧，弧与数轴交于数轴交于C点，则点点，则点C即为表示即为表示 的点。的点。你能在数
16、轴上画出表示你能在数轴上画出表示 的点和的点和 的点吗？的点吗？点点C即为表示即为表示 的点的点你能在数轴上画出表示你能在数轴上画出表示 的点吗？的点吗？探究探究1:第26页，讲稿共48张，创作于星期日0 01 1234lA AB BC C你能在数轴上画出表示你能在数轴上画出表示 的点和的点和 的点吗？的点吗？01 12 234 4A AB BC Czxxkw第27页，讲稿共48张，创作于星期日1 1、如图为如图为4444的正方形网格的正方形网格,以格点与点以格点与点A A为端为端点点,你能你能画出几画出几条边长条边长为为 的线段的线段?A练习练习&1第28页，讲稿共48张，创作于星期日2.2
17、.如图，如图，D(2,1),D(2,1),以以ODOD为一边画等腰三角形，并且使为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在另一个顶点在x x轴上，这样的等腰三角形能画多少个轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在写出落在x x轴上的顶点坐标轴上的顶点坐标.x xy y练习练习&1第29页，讲稿共48张，创作于星期日例例4:矩形矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的边上的点点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，求折痕，求折痕AE的长。的长。ABCDFE解解:设设DE为为X,X(8-X)则则CE为为(8 X).由题意可知由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=101010
18、8 B=90 AB2+BF2AF282+BF2102 BF6CFBCBF106464 C=90 CE2+CF2EF2(8 X)2+42=X264 16X+X2+16=X280 16X=016X=80X=5第30页，讲稿共48张，创作于星期日长方形长方形ABCDABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，处，已知已知AB=8AB=8，BC=10BC=10，求折痕，求折痕AEAE的长。的长。ABCDFE810810106xx8-x4?探究探究3:折叠问题折叠问题第31页，讲稿共48张，创作于星期日ABCDEF如右图将矩形如右图将矩形ABCD沿直线沿直线AE折
19、叠折叠,顶点顶点D恰好落在恰好落在BC边上边上F处处,已知已知CE=3,AB=8,则则BF=_。折叠问题折叠问题第32页，讲稿共48张，创作于星期日折叠长方形纸片，先折出折痕对角线折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，使折叠，使点点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE练习练习&34x3434-xx3你还能用其他方法求你还能用其他方法求AG的长吗？的长吗？折叠问题折叠问题第33页，讲稿共48张，创作于星期日折叠长方形纸片，先折出折痕对角线折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，使折叠，使点
20、点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE练习练习&34x3434-xx3你还能用其他方法求你还能用其他方法求AG的长吗？的长吗？折叠问题折叠问题第34页，讲稿共48张，创作于星期日如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AC=10cm，BC=6cm,你你能求出能求出CE的长吗？的长吗？CABDEx10-x6练习练习&210-xzxxkw折叠问题折叠问题第35页，讲稿共48张，创作于星期日边长为边长为8 8和和4 4的矩形的矩形OABCO
21、ABC的两边分别在直角坐标系的的两边分别在直角坐标系的x x轴和轴和y y轴上，轴上，若沿对角线若沿对角线ACAC折叠后，点折叠后，点B B落在第四象限落在第四象限B B1 1处，设处，设B B1 1C C交交X X轴于轴于点点D D，求（求（1 1）点）点D D的坐标；（的坐标；（2 2）三角形）三角形ADCADC的面积；的面积；（3 3）点）点B B1 1的坐标的坐标.OCBAB1D123E8484xyzz8-z探究探究2:435折叠问题折叠问题第36页，讲稿共48张，创作于星期日如如图图，有一个直角三角形，有一个直角三角形纸纸片，两直片，两直直角边直角边AC=6cm,BC=8cm,现现将
22、直角将直角边边AC沿沿CAB的的角平分角平分线线AD折叠，使它落在斜折叠，使它落在斜边边AB上，且上，且与与AE重合，你能求出重合，你能求出CD的的长吗长吗？AECDBE折叠问题折叠问题第37页，讲稿共48张，创作于星期日例例2：如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km,CB=10km，现在要，现在要在铁路在铁路AB上建一个土特产品收购站上建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距站的距离相等，则离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？CAEBDx25-x解：解：设
23、设AE=x km，根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2又又 DE=CE AD2+AE2=BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x)2答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。X=10则则 BE=（25-x）km1510第38页，讲稿共48张，创作于星期日AB我怎么走会最近呢?1.1.有一个圆柱有一个圆柱,它的高等于它的高等于1212厘米厘米,底面半径等于底面半径等于3 3厘米厘米,在圆柱下底面上的在圆柱下底面上的A A点有一只蚂蚁点有一只蚂蚁,它想从点它想从点A A爬到点爬到点B,B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是蚂蚁沿着圆
24、柱侧面爬行的最短路程是多少多少?(的值取3)BA 高高12cmBA长长18cm (的值取的值取3)9cm AB2=92+122=81+144=225=AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是蚂蚁爬行的最短路程是15厘米厘米.152展开问题展开问题第39页，讲稿共48张，创作于星期日有一圆柱，有一圆柱，底面圆的周长为底面圆的周长为24cm24cm，高为，高为6cm6cm，一只蚂蚁从底，一只蚂蚁从底面的面的A A处爬行到对角处爬行到对角B B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABBAC蚂蚁从距底面蚂蚁从距底面1cm1cm的的A A处处爬行到对角爬行到对角B B处吃
25、食物，处吃食物，它爬行的最短路线长为它爬行的最短路线长为多少？多少？ABBAC探究探究1:分析：由于分析：由于蚂蚁蚂蚁是沿着圆柱的是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形成平面图形.根据两点之间线段根据两点之间线段最短，可以发现最短，可以发现A A、B B分别在圆分别在圆柱侧面展开图的宽柱侧面展开图的宽6cm6cm处和长处和长24cm24cm中点处，即中点处，即ABAB长为最短路长为最短路线线.(.(如图如图)12612513展开问题展开问题第40页，讲稿共48张，创作于星期日A A变式变式1：有一木质圆柱形笔筒的高为有一木质圆柱形笔筒的高为h h，底面半径为
26、，底面半径为r r，现要围绕笔筒的表面由，现要围绕笔筒的表面由A A至至C C，（，（A,CA,C在圆柱的在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多少？这条金属线的最短长度是多少？C CB BAD DCzxxkw学.科.网第41页，讲稿共48张，创作于星期日 如如图图,一一圆圆柱柱高高8cm,8cm,底底面面半半径径2cm,2cm,一一只只蚂蚂蚁蚁从从点点A A爬爬到到点点B B处处吃吃食食,要要爬行的最短路程爬行的最短路程(取取3 3）是）是()()A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10c
27、m C.14cm D.无法确定无法确定 BB8OA2蛋糕ACB练习练习第42页，讲稿共48张，创作于星期日4.4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm20dm、3dm3dm、2dm2dm，A A和和B B是这个台阶两个相对的端点，是这个台阶两个相对的端点，A A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B B点去吃可口的点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B B点最短路程是多少？点最短路程是多少？20203 32 2AB32323第43页，讲稿共48张，创作于星期日AB101010BCAC C变式变式2：如果
28、圆柱换成如图的棱长为如果圆柱换成如图的棱长为10cm10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面由的正方体盒子，蚂蚁沿着表面由A A至至B B需要需要爬行的最短路程又是多少呢？爬行的最短路程又是多少呢？zxxkw第44页，讲稿共48张，创作于星期日变式变式3：如果盒子换成如图长为如果盒子换成如图长为3cm3cm，宽为，宽为2cm2cm，高为，高为1cm1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？要爬行的最短路程又是多少呢？AB321第45页，讲稿共48张，创作于星期日分析：有3种情况,六条路线。(1)(1)经过前面和上底面经过前面和上底面;(或经过后面和下底面)(2
29、)(2)经过前面和右面经过前面和右面;(或经过左面和后面)(3)(3)经过左面和上底面经过左面和上底面.(或经过下底面和右面)AB23AB1C321BCA321BCA321第46页，讲稿共48张，创作于星期日练习练习1:一只蚂蚁从实心长方一只蚂蚁从实心长方体的顶点体的顶点A A1 1出发，沿出发，沿长方体的表面爬到长方体的表面爬到对角顶点对角顶点C C处（三条处（三条棱长如图所示），棱长如图所示），问怎样走路线最短问怎样走路线最短？最短路线长为多？最短路线长为多少？少？ABA1B1DCD1C1214如果长方形的长、宽、高分别是如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（abc），你），你能求出蚂蚁从顶点能求出蚂蚁从顶点A1到到C的最短路径吗？的最短路径吗？A1B1145A1A41A1D142abc第一种路线最短第一种路线最短第47页，讲稿共48张，创作于星期日ABA1B1DCD1C1bcaA1B1caA1AacA1D1ab从从A1到到C的最短路径是的最短路径是变式变式:如果长方形的长、宽、高分别是如果长方形的长、宽、高分别是a a、b b、c c（a ab bc c），），你能求出蚂蚁从顶点你能求出蚂蚁从顶点A A1到到C C的最短路径吗？的最短路径吗？A1B1abc第48页，讲稿共48张，创作于星期日