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1、从力的做功到向量的数量从力的做功到向量的数量积积如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:位移SOAFFS力做功的计算力做功的计算功为两个向量之间的某种运算，称为数量积 表示力F F的方向与位移S S的方向的夹角。1夹夹 角角OAB已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ,作作 ，则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.(.(起点相同起点相同)当当=90时，时，与与 垂直垂直记作：记作：当当=180时，时，与与 反向反向规定：当当=0时，时，与与 同向同向如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC 通过平
2、移通过平移变成共起点！变成共起点！练习练习OABB12 2射影的定义射影的定义如图 ,过点B作BB1OA于B1则|cos叫作向量 在 方向上的射影射影当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？OOO3数量积数量积已知两个向量已知两个向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ,我们把数我们把数量量 叫作叫作 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），记作记作 ，则，则 数量积运算下来是数量，与长度、夹角的余值有关数量积运算下来是数量，与长度、夹角的余值有关。且中间的小圆点不能省。且中间的小圆点不能省。几何意义几何意义B1OAB 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的射影的方向上
3、的射影 的乘积，或的乘积，或 的的长度长度|与与 在在 方向上射影方向上射影|cos 的乘的乘积。积。q当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值:两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？4.向量数量积的性质设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是与是与b的单位向量的单位向量.1.e a=a e=|a|cos;2.a b a b=03.a a=|a|2或或4.cos =；5.|a b|a|b|判定两向量垂直的条件判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的模用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以
4、及判断三角形的形状向量数量积满足的运算律想一想：想一想：向量数量积不满足结合律向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？向量的数量积满足结合律吗？说明：说明：即：即：成立吗？成立吗？例例例例例1 已知且 与 的夹角 求解变式训练变式训练:已知已知|a|=3,|b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是课堂小结课堂小结2.向量的射影 4.两个向量的数量积的性质：(1).ab ab=0(3).cos =(2).aa=|a|2或3.向量的数量积（内积）1.两个向量的夹角OAB结束结束