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1、如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:位移SOAFFS力做功的计算力做功的计算cosSFW 功为两个向量之间的某种运算，称为数量积 表示力F F的方向与位移S S的方向的夹角。1、夹、夹 角角OabAB已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ,作作 ，OAa OBb 则则AOB=AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.(.(起点相同起点相同) )ababababab当当= 90时，时， 与与 垂直垂直记作：记作： abab当当= 180时，时， 与与 反向反向ba规定：a0当当= 0时，时， 与与 同向同向ab如图，等边三角形中，求 （1）AB与
2、AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060C练习练习OABB12 2、射影的定义、射影的定义如图 , 过点B作BB1OA于B1aOAbOB cos1bOB 则| |cos叫作向量 在 方向上的射影射影bab当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？OOa b |cosbab 在 上的投影：在 上的投影：|cos0b Oa b |cos0b a b |cos0b |cosaba 在 上的投影：在 上的投影：3、数量积数量积已知非零向量已知非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为 我们把数量我们把数量 叫作叫作 与与 的数量的数量积（或内积），记作
3、积（或内积），记作 ，则，则|cosa ba b 数量积运算下来是数量，与数量积运算下来是数量，与长度长度、夹角夹角有关。且有关。且中间的中间的小圆点不能省小圆点不能省。abcosbaabb a（2.10）几何意义几何意义的乘积。摄影方向上在与的长度的乘积，或射影方向上在与的长度数量积等于与cosababbcosbabaaba当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值22aaaacoscos2121eeee两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？（2.11）（2.12）向量的数量积的物理意义：向量的数量积的物理意义： 如果力对物
4、体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.4、向量的数量积的性质向量的数量积的性质：设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e为为单位向量单位向量.则则aebaba,acosbaba 向量数量积的性质向量数量积的性质2. a b a b = 03. a a = |a|2或或aaa |4. cos = ；|baba5.|a b| |a| b |判定判定两向量两向量垂直垂直的条件的条件用于计算向量的模用于计算向量的模用于用于计算计算向量的向量的夹角夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状等号成立ba/,为单位向量e1. cosaeaaeabba1 bababa2cbcacba35
5、、数量积的运算律、数量积的运算律例1 已知3a4b且 与 的夹角 ab150o求a b 分析：可利用定义讨论解|cosa ba b o150cos43231236例2 在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosCABCabc同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理余弦定理.证明 如图,设 ,则,ABc BCa ACb 222| | |aaBCBCBC () ()ACABACAB () ()bcbc2b bc cb c 22|2|cosbcb cA222cosbcbcA例3
6、证明菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO证明 菱形ABCD中,AB=AD即菱形的两条对角线互相垂直.,ACADAB BDADAB 由于() ()ACBDADABADAB 可得22()()ADAB 22|ADAB 0ACBD a b = (e1+e2) (e2-2e1) =-2e1 e1 -e1 e2+e2 e2 =-所以23例4 已知单位向量e1,e2的夹角为60 ,求向量a= e1+e2,b=e2-2e1夹角.解 由单位向量e1,e2的夹角为60 ,得e1e2 = 1cos602 由 可得cos= = =a b|a| |b|332321又 |a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2 e1 e
7、2 +|e2|2=3 |b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4 e1 e2 +|e2|2=3所以 |a|=|b|= 3又0,所以=120 （1）00 a（5）若）若 ，则对于任一非零，则对于任一非零 有有0ab0 ba00 a（2）（3）|baba（7）对于任意向量）对于任意向量 都有都有cba 、）（）（cbacba（6）若）若 ，则，则 至少有一个为至少有一个为0 baba、0判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：公式变形公式变形对功对功W=|F|s|cos 结构分析结构分析抽象抽象平面向量数量积的定平面向量数量积的定义义a b=| a | | b | cos 特殊化特殊化五条重要性质五条重要性质数形数形结合结合几何几何意义意义（1）向量的数量积的定义（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义（3）向量的数量积的性质（4）向量的数量积的运算律课堂小结课堂小结2.向量的射影 cosaba上的射影在cosbab上的射影在4.两个向量的数量积的性质：(1). ab ab = 0(3). cos =|baba(2). aa = |a|2或aaa |3.向量的数量积（内积） 1.两个向量的夹角0OabAB| |cosa ba b