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1、 从力做功从力做功(zugng)(zugng)到向量到向量的数量积的数量积第一页，共25页。如果一个物体在力F作用(zuyng)下产生位移S，那么F所做的功为:位移SOAFFS力做功力做功(zugng)的的计算计算功为两个向量(xingling)之间的某种运算，称为数量积 表示力F F的方向与位移S S的方向的夹角。第二页，共25页。1夹夹 角角OAB已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ,作作 ，则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.(.(起点相同起点相同)第三页，共25页。当当=90时，时，与与 垂直垂直记作：记作：当当=180时，时，与与 反
2、向反向规定：当当=0时，时，与与 同向同向第四页，共25页。如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！练习练习(linx)(linx)第五页，共25页。OABB12 2射影射影(shyng)(shyng)的定义的定义如图 ,过点B作BB1OA于B1则|cos叫作向量 在 方向上的射影射影当夹角为钝角(dnjio)、直角时射影应如何呢？第六页，共25页。OOO第七页，共25页。3数量(shling)积已知两个已知两个(lin)向量向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ,我们把数量我们把数量 叫作叫作 与与 的数量积
3、的数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，则，则 数量积运算下来是数量，与长度数量积运算下来是数量，与长度(chngd)、夹角的余、夹角的余值有关。且中间的小圆点不能省。值有关。且中间的小圆点不能省。第八页，共25页。几何几何(j h)意义意义B1OAB 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的射影的方向上的射影 的乘积，或的乘积，或 的的长度长度|与与 在在 方向上射影方向上射影|cos 的乘的乘积。积。q第九页，共25页。当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度(chngd)的平方当两个向量都是单位向量时,它们(t men)的数量积等于它们(t men)夹角的余
4、弦值:两个特殊向量之间怎样进行数量(shling)及运算呢？第十页，共25页。4.向量(xingling)数量积的性质设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是与是与b的单位向量的单位向量.1.e a=a e=|a|cos;2.a b a b=03.a a=|a|2或或4.cos =；5.|a b|a|b|判定两向量判定两向量(xingling)垂直的条垂直的条件件用于计算用于计算(j sun)向量的模向量的模用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状第十一页，共25页。向量(xingling)数量积满足的运算律第十二页，共25页。想一想：想一想：向量数
5、量(shling)积不满足结合律.向量的数量向量的数量(shling)积满足积满足结合律吗？结合律吗？说明说明(shumng)：即：即：成立吗？成立吗？第十三页，共25页。第十四页，共25页。第十五页，共25页。例例例例第十六页，共25页。第十七页，共25页。例1 已知且 与 的夹角 求解第十八页，共25页。第十九页，共25页。第二十页，共25页。变式训练变式训练(xnlin):(xnlin):已知已知|a|=3,|b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是第二十一页，共25页。课堂课堂(ktng)小小结结2.向量的射影 4.两个向量的数量积的性质：(1).ab ab=0(3).cos =(2).aa=|a|2或3.向量(xingling)的数量积（内积）1.两个(lin)向量的夹角OAB第二十二页，共25页。第二十三页，共25页。第二十四页，共25页。第二十五页，共25页。