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1、 如何用数学来如何用数学来反映山势的平缓反映山势的平缓与陡峭程度？与陡峭程度？HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点是登山者的出发点,H是山顶是山顶,登山路线用登山路线用y=f(x)表示表示；问题：当自变量问题：当自变量x表示登山者的水平位置，表示登山者的水平位置，函数值函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题登山问题xHABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路选取平直山路AB放大研究放大
2、研究:若若自变量的改变量自变量的改变量函数值的改变量函数值的改变量直线直线AB的斜率的斜率:D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线直线AB的斜率的斜率:直线直线CD1的斜率的斜率:xy0 x0 x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)y0 x0 x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)显然，显然，“线段线段”所在直线的斜率的所在直线的斜率的
3、绝对值绝对值越大，山越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 的的绝绝对值对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。函数图象上也有类似定义，函数图象上也有类似定义，由此我们引由此我们引出出函数平
4、均变化率函数平均变化率的概念。的概念。思考思考：比值：比值 表示的意义是什么？表示的意义是什么？它表示每一个单位上的函数值的平均增量。它表示每一个单位上的函数值的平均增量。平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢 建构数学建构数学函数的平均变化率函数的平均变化率已知函数已知函数 在点在点 及及其附近其附近有定义，有定义，令令 ,则当则当 时时,比值比值叫做函数叫做函数 在在 到到 之间的之间的平均变化率平均变化率思考思考:函数平均变化率的几何意义？函数平均变化率的几何意义？OABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)x直线直线AB的的斜率斜率函数平均变化率函数平均变化率:函数值的
5、改变量与自变量的改变量之比函数值的改变量与自变量的改变量之比 观察函数f(x)的图象过曲线过曲线 上的点上的点 割线的斜率。割线的斜率。思考思考：（：（1）x、y的符号是怎样的？的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？）该变量应如何对应？理解：理解：2、对应性：若例例1.求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为分析:当 取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.(2)求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为图图1图图2课堂练习：甲乙二人跑步路程
6、与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？例例3：已知函数：已知函数 ，计算函数在下列区间上的平均变化率。，计算函数在下列区间上的平均变化率。解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为变化区间自变量改变量平均变化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律在每一时
7、刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+D Dt 这段时间内，当这段时间内，当 D Dt0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即瞬时速度瞬时速度函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变 时，函数值相应的发生改变如果当 趋近于时，平均变化率 趋近于一个常数 ，则数 称为函数 在点 处的瞬时变化率瞬时变化率。导数导数的概念的概念也可记作也可记作 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x0 处处不不可导可导。设函数设函数 y=f(x)在点在点
8、x=x0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x 在在 x0 处处取得增量取得增量 x(点点 x0+x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时，相应地函数相应地函数 y 取取得增量得增量 y=f(x0+x)-f(x0)，若，若y与与x之比当之比当 x0的极的极限存在，则称函数限存在，则称函数 y=f(x)在点在点 x0 处处可导可导，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y=f(x)在点在点 x0 处的处的导数导数记为记为 即即说说明：明：（1）函数）函数在点在点处处可可导导，是指，是指时时，有极限如果有极限如果不存在极限，就不存在极限，就说说函数在函数在处处不可不可导导，或，或说说无无
9、导导数数点点是自是自变变量量x在在处处的改的改变变量，量，而，而是函数是函数值值的改的改变变量，可以是零量，可以是零（2）注意：由由导导数的定数的定义义可知，求函数可知，求函数在在处处的的导导数的步数的步骤骤:（1）求函数的增量）求函数的增量:；（2）求平均）求平均变变化率化率:；（3）取极限，得）取极限，得导导数数:例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中，秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位：），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢?割线割线PQ的的变化情况的的变化情况在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？PQM求已知曲线的切线求已知曲线的切线.练习：练习：小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率 3.求函数的瞬时变化率的步骤求函数的瞬时变化率的步骤:一差一差 二化二化 三极限三极限