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1、关于变化率与导数现在学习的是第1页，共40页 在吹气球的过程中在吹气球的过程中,可发现可发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢.从数学的角从数学的角度度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?现在学习的是第2页，共40页现在学习的是第3页，共40页利用函数图象计算：利用函数图象计算：r(0)=_r(1)_r(2)_r(2.5)_r(4)_所以：所以：r(1)-r(0)1-0_(dm/L)r(2)-r(1)2-1_(dm/L)r(2.5)-r(2)2.5-2_(dm/L)r(4)-r(2.5)4-2.5_(dm/L)所以，随着气球
2、体积逐渐变大，它的所以，随着气球体积逐渐变大，它的_逐渐变小了。逐渐变小了。00.620.780.8510.620.160.140.10平均膨胀率平均膨胀率函数函数r(V)=(0V5V5)的图象为的图象为:现在学习的是第4页，共40页问题问题2 2 高台跳水高台跳水在跳水运动中，运动员相对于水面高度在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位（单位:m）与起跳后的）与起跳后的时间时间t(单位单位:s)存在函数关系：存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10（如图）（如图）h(0.5)-h(0)0.5-0t:00.5时时,v=t:12时时,v=4.05(m/s)h(2)h(1)21=-8
3、.2(m/s)一般地一般地,t1t2时时,v=h(t2)h(t1)t2t1现在学习的是第5页，共40页答答:(1)不是。先上升，后下降。不是。先上升，后下降。(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。它并不能反映某一刻的运动状态。计算运动员在计算运动员在0t t 这段时间这段时间里的平均速度：里的平均速度：v=_v=_，思考，思考下面的问题：下面的问题：(1)(1)运动员在这段时间里是静止运动员在这段时间里是静止 的吗？的吗？(2)(2)你认为用平均速度描述运动员你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？的运动状态有
4、什么问题？0m/s现在学习的是第6页，共40页在例在例2中：对于函数中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在计算运动员在0s到到0.5s内的内的 平均速度平均速度在例在例1中：对于函数中：对于函数 当当空气容量空气容量从从V1增加到增加到V2时时,气球的气球的 平均膨胀率平均膨胀率一般地，函数一般地，函数f（x）在区间）在区间x1，x2上的上的 平均变化率平均变化率现在学习的是第7页，共40页所以，平均变化率可以表示为：所以，平均变化率可以表示为：现在学习的是第8页，共40页平均变化率平均变化率:式子式子 令令x=x2 x1,y=f(x2)f(x1),则则称为函数称为函数 f(
5、x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.平均变化率的定义：现在学习的是第9页，共40页1、式子中、式子中x、y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 理理解解3、变式、变式:现在学习的是第10页，共40页l观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考现在学习的是第11页，共40页直线直线AB的斜率的斜率AB思考现在学习的是第12页，共40页函数函数
6、y=f(x)，从，从x1到到x2的平均变化率的平均变化率=的几何意义是什么？的几何意义是什么？y yx xf(x2)f(x1)x2x1答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率现在学习的是第13页，共40页例例 (1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2(2)解：解：y=f(x+x)-f(x)=2 x x+(x)2 题题型一：求函数的平均型一：求函数的平均变变化率化率现在学习的是
7、第14页，共40页练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.Ax+2x0现在学习的是第15页，共40页1、已知自由落体的运动方程为、已知自由落体的运动方程为s=gt2，求，求:(1)落体在落体在t0到到t0+tt这段时间内的平均速度；这段时间内的平均速度；(2)落体在落体在t t0=2=2秒到秒到t t1=2.1=2.1秒这段时间内的平均速度秒这段时间内的平均速度(g=10m/s(g=10m/s2 2)。2、过曲线、过曲
8、线f(x)=x2上两点上两点P(1,1)和和Q(2,4)做曲线的割线，求割线做曲线的割线，求割线PQ的斜率的斜率k。现在学习的是第16页，共40页小结：小结：l1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：现在学习的是第17页，共40页（1）1,3;（2）1,2;（3）1,1.1;（4）1,1.001;（5）1,1.0001;一一运运动动质质点点的的位位移移S与与时时间间t满满足足S(t)=t2,分分别别计计算算S(t)在在下下列区间上的平均变化率列区间上的平均变化率.(位移单位为位移单位为m,时间单位
9、为时间单位为s)432.12.0011.9991.991.92（6）0.999,1;（7）0.99,1;（8）0.9,1.2.0001练练一一练练 如何刻画如何刻画t=1这一时刻这一时刻质点运动的快慢程度呢？质点运动的快慢程度呢？思考：思考：现在学习的是第18页，共40页一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义:割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y现在学习的是第19页，共40页理解：理解：1，式子中，式子中x、y的值可正、可负，但的值可正、可负，但的的x值不能为值不能为0，y的值可以为的值可以为0
10、2，若函数，若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 3,变式变式现在学习的是第20页，共40页l求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率计算平均变化率现在学习的是第21页，共40页问题问题3 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）（单位：秒）存在函数关系存在函数关系 h(t)=-4.9t h(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何
11、用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto现在学习的是第22页，共40页请计算请计算htoh(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10现在学习的是第23页，共40页 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考下面的问题:探究探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在平均
12、速度不能准确反映他在这段时间里运动状态这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.如何求如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?比如，比如，t=2时的瞬时时的瞬时速度是多少？速度是多少？现在学习的是第24页，共40页 t是时间改变量，可以是正值，也是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为可以是负值，但不为0。我们先考察我们先考察t=2附近的情况：附近的情况：在在t=2之前或之后，任意取一个时刻之前或之后，任意取一个时刻2+t，当当t0 时，时，2+t 在在2之后。之后。计算区间计算区间2+t，2和区间和区间2，2+t 内的平均速度内的平均速度 ，
13、可以得到如下表格：，可以得到如下表格：现在学习的是第25页，共40页当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,如何求（比如，如何求（比如，t=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势：现在学习的是第26页，共40页 当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一的一边趋近于边趋近于2时时,平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都
14、趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度现在学习的是第27页，共40页探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示处
15、的瞬时变化率怎样表示?现在学习的是第28页，共40页定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即现在学习的是第29页，共40页定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即现在学习的是第30页，共40页由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数 y=f(x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3
16、.3.求值求值口诀：一差、二化、三极限口诀：一差、二化、三极限现在学习的是第31页，共40页例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.现在学习的是第32页，共40页现在学习的是第33页，共40页练练1:求求y=f(x)=x2+1在在x=1处的导数处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx现在学习的是第34页，共40页 例例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度
17、(单单位位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.现在学习的是第35页，共
18、40页 例例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需需要对原油进行冷却和加热要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单位单位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温原油温度的瞬时变化率度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.练习练习:计算第计算第3h和第和第5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率,并说明它并说明它们的意义们的意义.课堂练习课堂练习:如果质点如果质点A按规律按规律s=2t3则在则在t=3s时的时的瞬时速度为瞬时速度为A.6 B.18 C.5
19、4 D.81现在学习的是第36页，共40页l练习练习2质量为质量为kg的物体，按照的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，的规律做直线运动，（）求运动开始后（）求运动开始后s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；（）求运动开始后（）求运动开始后s时物体的动能。时物体的动能。现在学习的是第37页，共40页小结：求函数小结：求函数 y=f(x)的导数的定义方法的导数的定义方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.求值求值一差、二化、三极限一差、二化、三极限现在学习的是第38页，共40页例例4:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:分析分析:利用函数利用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.现在学习的是第39页，共40页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第40页，共40页