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1、常系数非齐次线性微分方程 机动目录上页下页返回结束第八节一、一、二、二、第十一章 三、欧拉方程二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机动目录上页下页返回结束一、一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得(1)若 不是特征方程的根,可设为 m 次多项式.机动目录上页下页返回结束(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根根,即可设(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即机动目录上页下页返回结
2、束可设综上上讨论例例1.的一个特解.解解:特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束其根为解解：对应齐次方程通解次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解原方程通解为例例2.机动目录上页下页返回结束例例3.的通解.解解:本本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束例例4.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束设的特解的特解为设的特解的
3、特解为则所求特解所求特解为特征根特征根（重根）（重根）写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.例例5.解解:机动目录上页下页返回结束利用欧拉公式机动目录上页下页返回结束二、二、欧拉公式机动目录上页下页返回结束上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例6.的一个特解.解解:本本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束其根为例例7.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束例例8.解解:(1)特征方程特征方程有
4、二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束特点：特点：各各项未知函数未知函数导数的数的阶数与乘数与乘积因子自因子自变量的方次数相同量的方次数相同三、欧拉方程三、欧拉方程 形如形如 的方程，的方程，叫做叫做欧拉方程欧拉方程.求解基本思想求解基本思想 欧拉方程欧拉方程 常系数常系数线性微分方程性微分方程机动目录上页下页返回结束欧拉方程的解法欧拉方程的解法:则计算繁算繁!机动目录上页下页返回结束则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:机动目录上页下页返回结束例例9.解解
5、:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 机动目录上页下页返回结束 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得机动目录上页下页返回结束例例10.解解:将方程化为(欧拉方程欧拉方程)则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A=1,所求通解为 机动目录上页下页返回结束例例11.解解:由由题设得定解得定解问题则化为特征根:设特解:代入得 A1 机动目录上页下页返回结束得通解为利用初始条件得故所求特解为机动目录上页下页返回结束内容小内容小结则设特解为则设特解为机动目录上页下页返回结束3.欧拉方程思考与思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1.(填空填空)设机动目录上页下页返回结束2.求微分方程的通解 (其中为实数).解解:特征方程特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束