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1、高阶高阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第八八节节三三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、通解的结构通解的结构二二、通解的求法通解的求法四四、欧拉方程欧拉方程五五、应用举例应用举例一一、通通解的结构解的结构 是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 8.1则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.证证:将将代入方程代入方程左端左端,得得复习 目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常
2、数,例如例如,方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为证毕证毕因而因而 也是通解也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 8.2分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)定理定理8.1,定理定理8.2均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐
3、次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法:对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为 代入原方程确定代入原方程确定 对二阶非齐次方程对二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次方程通解已知对应齐次方程通解:设设的解为的解为 由于有两个待定函数由于有两个待定函数,所以要建立两个方程所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、通通解的解的求法求法令令于是于是将以上结果代入方程将以上结果代入方程:得得故故,的系数行列式的系数行列式是
4、对应是对应齐次方程的解齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 积分得积分得:代入代入 即得非齐次方程的通解即得非齐次方程的通解:于是得于是得 说明说明:将将的解设为的解设为 只有一个必须满足的条件即方程只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一因此必需再附加一 个条件个条件,方程方程的引入是为了简化计算的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2.仅知仅知的齐次方程的一个非零特解的齐次方程的一个非零特解 代入代入 化简得化简得设其通解为设其通解为 积分得积分得(一阶线性方程一阶线性方程)由此得原方程由此得原方程的通解的通解:代入 目录 上页 下页 返回 结
5、束 例例8.1 求非齐次线性微分方程的求非齐次线性微分方程的 通解通解.解：解：对应齐次方程特征方程为对应齐次方程特征方程为 特征根为特征根为于是对应齐次方程的通解为于是对应齐次方程的通解为设所给方程的通解为设所给方程的通解为这是确定这是确定C1(x),C2(x)的方程组的方程组为为设所给方程的通解为设所给方程的通解为三三、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确
6、定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为 m 次多项式次多项式.Q(x)为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小
7、结小结 对方程对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.2 求方程求方程 的一个特解的一个特解.解：解：是二阶常系数非齐次微分方程是二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为由于由于=0不是特征根，故所给方程特解为不是特征根，故所给方程特解为设所给方程的一个特解为设所给方程的一个特解为将它带入将它带入所给方程得所给方程得例例8.3 求方程求方程 的通解的通解.解：解：是二阶常系数非齐次微分方程是二阶常系数非
8、齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为由于由于=2是单特征根，故所给方程特解为是单特征根，故所给方程特解为设所给方程的一个特解为设所给方程的一个特解为将它带入将它带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为n阶常系数非齐次微分方程的一般形式为阶常系数非齐次微分方程的一般形式为若若 则上述方程具有形如则上述方程具有形如的特解，其中的特解，其中Qm(x)是与是与Rm(x)同次的多项式，而同次的多项式，而k按按不是特征根和是不是特征根和是r重根分别取重根分别取0和和r.例例8.5 求方程求方程 的通解的通解.解：解：是四阶常系数非齐次微分方程是四阶常系数非齐
9、次微分方程对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为由于由于=0是二重特征根，故所给方程特解为是二重特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为所给方程的一个特解为将它带入将它带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路:第一步第一步 将将 f(x)转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f(x)变形变形机动 目录
10、上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根(k =0,1),故故等式两边取共轭等式两边取共轭:为方程为方程 的特解的特解.设设则则 有有特解特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果,根据叠加原理根据叠加原理,原方程有特解原方程有特解:原方程原方程 均为均为 m 次多项式次多项式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析分析因因均为均为 m 次实次实多项式多项式.本质上为实函数本质上为实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8
11、.6 求方程 的通解.解：解：二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为由于 不是特征根，故所给方程特解为于是所给方程的一个特解为于是所给方程的一个特解为带入带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为例例8.7 求 满足 的特解.解：解：二阶常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为由于 是单特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为所给方程的一个特解为带入带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为由初始条件得由初始条件得C1=0,C2=1,例例8.8(RLC电路电路)
12、在一个由电阻在一个由电阻R,电感电感L,电容电容C和电源和电源E组组成的闭合回路中成的闭合回路中(如图如图)，电源电动势，电源电动势E=100sin60t(V)，电阻电阻R=2()，电感，电感L=0.1(H)，电容，电容C=1/260(F).如果开始如果开始时电路中的电流为零，电容器上的电荷量为零，求该电时电路中的电流为零，电容器上的电荷量为零，求该电路接通后电容器上的电荷量随时间的变化关系路接通后电容器上的电荷量随时间的变化关系.解：解：设时刻设时刻t该回路中的电流为该回路中的电流为I(t)，电容器上的电荷量为，电容器上的电荷量为Q(t).有基尔霍夫定律得有基尔霍夫定律得由电学知识有由电学知
13、识有由题意知初始条件为由题意知初始条件为是二阶常系数非齐次线性微分方程，是二阶常系数非齐次线性微分方程，f(t)=1000sin60t,由于由于 不不是特征根，故所给方程特解为是特征根，故所给方程特解为带入带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为对应齐次方程特征方程为对应齐次方程特征方程为所给方程的一个通解为所给方程的一个通解为由初始条件得由初始条件得C1=30/61,C2=36/61,n阶常系数非齐次微分方程阶常系数非齐次微分方程具有形如具有形如的特解，其中的特解，其中Qm(x)是是m次多项式，次多项式，而而k按按 不是特征根和是不是特征根和是r重根分别取重根分别取0
14、和和r.例例8.9 求 的通解.解：解：三阶常系数非齐次微分方程由于 不是特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为所给方程的一个特解为带入带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数线性微分方程常系数线性微分方程四四、欧拉方程欧拉方程欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则则计算繁!机动 目录 上页 下页 返回 结束 则由上述计算可知则由上述计算可知:用归纳法可证用归纳法可证 于是欧拉方程于是欧拉方程 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.10 求 的通解.解：解：作变换 即 所给
15、方程化为由于 不是特征根，故所给方程特解为所给方程的一个特解为所给方程的一个特解为带入带入所给方程得所给方程得对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为例例1.解解:则原方程化为则原方程化为亦即亦即其根其根则则对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为特征方程特征方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解为的通解为换回原变量换回原变量,得原方程通解为得原方程通解为设特解设特解:代入代入确定系数确定系数,得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:将方程化为将方程化为(欧拉方程欧拉方程)则方程化为则方程化为即即特征根特征根:设特解设特解:代入代入 解得解得 A=1,所求通
16、解为所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解,是任意是任意例例.提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关.(反证法可证反证法可证)(89 考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解.解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且常数常数因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求
17、特解为有三有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.的一个特解的一个特解.解解:本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程:比较系数比较系数,得得于是所求特解为于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解定解问题求解定解问题解解:本题本题特征方程为特征方程为其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得故故故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程通解为原方程通解为由初始条件得由初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为于是所求解为解得解得机动 目录 上页 下页
18、返回 结束 例例4 的一个特解的一个特解.解解:本题本题 特征方程特征方程故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比较系数比较系数,得得于是求得一个特解于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.解解:(1)特征方程特征方程有二重根
19、有二重根所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(2)特征方程特征方程有根有根利用叠加原理利用叠加原理,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 提示提示:1.(填空填空)设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应齐次方程通解对应
20、齐次方程通解:原方程通解为原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.11解解:由第七节例由第七节例1(P293)知知,位移满足位移满足质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运动规律求物体的运动规律 立坐标系如图立坐标系如图,设设 t=0 时物体的位置为时物体的位置为取其平衡位置为原点建取其平衡位置为原点建 因此定解问题为因此定解问题为自由振动方程自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 五五、应用举例应用举例方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率 机动 目录 上页 下页 返回 结束(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 习题习题7.8(A)1(1),(4);(B)1(1).习题课2 目录 上页 下页 返回 结束