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1、一阶线性电路暂态分析的三要素法 第第3 3章章 电路的暂态分析电路的暂态分析 第一章第一章 讨论电路的基本概念和基本定律讨论电路的基本概念和基本定律 。如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与 计算电路的基础。第二章第二章 介绍几种常用的电路分析方法。介绍几种常用的电路分析方法。有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变换、叠加原理、和戴维宁定理。第三章第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。讨论直流一阶电路的暂态分析。介绍：用“三要素法”分析暂态过程。i iL L(0(0+)=)=i iL L(0(0)u uC C(0+)=u(
2、0+)=uC C(0)(0)含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即：换路瞬间换路瞬间：设为设为 t t=0=0。换路前终了瞬间换路前终了瞬间：以：以 t=0t=0表示。表示。换路后初始瞬间换路后初始瞬间：以：以 t=0+t=0+表示。表示。换路定则换路定则：3.1 储能元件和换路定则储能元件和换路定则电感元件的储能电感元件的储能不能跃变不能跃变电容元件的储能电容元件的储能不能跃变不能跃变状态变量状态变量 i iL L、u uC C在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。独立初始值独立初始值 i iL L(0+)(0+)、u uC C(0(0+)第一章第一章 电
3、路及其分析方法电路及其分析方法【例例3.13.1】设：开关设：开关S S闭合前闭合前L L元件和元件和C C元件均未储能。元件均未储能。试试：确定确定S S闭合后闭合后电路中各电流与电压的初始值。电路中各电流与电压的初始值。解解：由由t t=0-=0-的电路得：的电路得：4 R3+U6Vt=02 SR1R24 uCC+iCiL t=0-iLuLuC(0+)=0iL(0+)=0uC(0-)=0iL(0-)=0电容元件短路。电容元件短路。电感元件开路电感元件开路由换路定则得：由换路定则得：则：则：画出画出t=0t=0+时时的等效电路的等效电路独立初始值独立初始值第一章第一章 电路及其分析方法电路及
4、其分析方法由由t=0t=0+的等效电阻电路的等效电阻电路+UR1i+uLiLR2 R3uC+iC(0+)t=0+求出各独立初始值求出各独立初始值2 4 6V(0+)(0+)(0+)(0+)3.2 电路的暂态分析电路的暂态分析1.1.零状态响应零状态响应2.2.零输入响应零输入响应3.3.全响应全响应 换路前动态元件未储存能量，即uc（0-）=0或iL(0-)=0 ，换路时，由电源激励所产生的电路响应。换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零。由初始储能引起的的电路响应。指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的电路响应。即：是零状态响应与零输入响应即：是零状态响应与零
5、输入响应两者的叠加。充电储能过程。充电储能过程。充电储能过程。充电储能过程。放电释能过程。放电释能过程。放电释能过程。放电释能过程。Rt=0+U12+uR+uLiL 电感电感初始储能初始储能为零为零，电路响应仅由，电路响应仅由外加电源引起外加电源引起，为，为RLRL电电路的路的零状态响应零状态响应。S若若S S在在2 2位置时，在位置时，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到1 1的位置。的位置。电路中电路中外加激励为零外加激励为零，电路的响应是由电感的，电路的响应是由电感的初始储能初始储能引起引起的，故为的，故为RLRL电路的电路的零输入响应零输入响应。电路的暂态分析电路的暂态分析若若
6、S S在在1 1位置时，在位置时，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到2 2的位置。的位置。USCRt=0+12+uR+uCit t 0 0时电路的微分方程为时电路的微分方程为：设设:S S在在2 2位置时位置时C C已放电完毕，在已放电完毕，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到1 1的位置。的位置。RC电路零状态响应电路零状态响应充电储能过程充电储能过程根据根据KVLKVL通解=特解特解+补函数补函数特解取换路后的稳态值稳态值，即，即补函数是齐次微分方程形式为：的通解一、零状态响应一、零状态响应SCRt=0+U12+uR+uCiuC零状态响应表达式：零状态响应表达式：时间常数
7、时间常数-S S推导整理得：tuCU0u0.632U 零状态响应零状态响应曲线曲线物理意义物理意义:决定电路暂态过程变化的快慢。决定电路暂态过程变化的快慢。决定电路暂态过程变化的快慢。决定电路暂态过程变化的快慢。当当t=t=时时是电压是电压uc增长到稳态值增长到稳态值U的的63.2所需的所需的时间时间。稳态稳态稳态稳态+暂态暂态暂态暂态 2.2.2.2.RL RL RL RL 电路的零状态响应电路的零状态响应电路的零状态响应电路的零状态响应R Rt t=0=0+U U1 12 2+u uR R+u uL Li iL L根据KVLKVLt t 0 0时电路微分方程为时电路微分方程为:S S推导整
8、理得：通解=特解特解+补函数补函数uC零状态响应表达式：零状态响应表达式：时间常数时间常数-S S 此时，通过电感的电流此时，通过电感的电流i iL L由由初始值初始值I I0 0向稳态值零衰减，向稳态值零衰减，其随其随时间变化表达式为：时间变化表达式为：Rt=0+U2+uR+uLiLS1iL零状态响应表达式：零状态响应表达式：ti0i零状态响应零状态响应曲线曲线UR稳态稳态稳态稳态+暂态暂态暂态暂态小结小结2 2）达稳态值的快慢取决于时间常数）达稳态值的快慢取决于时间常数。（。（=RC RC 或或=GLGL）3 3）当直流动态电路达到稳定状态时，当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路电
9、容相当于开路,电感相电感相当于短路当于短路。其等效电路为电阻性电路。4 4）零状态线性：当零状态线性：当输入增大输入增大 倍，倍，其其零状态响应也增大零状态响应也增大 倍倍。1 1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值。代代入上式得入上式得换路前电路已处换路前电路已处于于稳态稳态 t t=0=0时开关时开关,电容电容C C 经电阻经电阻R R 放电放电一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程列列 KVLKVL方程：方程：放电过程
10、放电过程放电过程放电过程1.1.1.1.RC RC RC RC 电路电路电路电路零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应+-SRU21+二、零输入响应二、零输入响应 u uC C零输入响应表达式：零输入响应表达式：零输入响应表达式：零输入响应表达式：推导整理得：uC零输入响应零输入响应曲线曲线0uUt时间常数时间常数 =RC当当t t=时，时，u uC C=36.8%36.8%U U u uC C 从从初始值初始值按指数规律衰减按指数规律衰减 快慢由快慢由 =R R C C 决定。决定。0.368U i零输入响应零输入响应曲线曲线0iI0t0.368I0 时间常数时间常数 =L/R当当t t=
11、时，时，i iL L=36.836.8%I I0 0。电路中 u uR R和u uL L可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系确定。i iL L零输入响应表达式：零输入响应表达式：零输入响应表达式：零输入响应表达式：同理可推导：tii0i时间常数时间常数 =L/R当当t t=时，时，u uC C=63.2%63.2%U U。0.632U/R 零状态响应零状态响应曲线曲线零输入响应零输入响应曲线曲线0iI0t0.368I0 时间常数时间常数 =L/R当当t t=时，时，u uC C=36.836.8%U U0 0。UR 电路中 u uR R和u uL L可根据电阻和电感元件两端的电压电流伏安特性
12、关系确定。当当 t t t t=5=5=5=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，u u u uC C C C达到稳态值。达到稳态值。达到稳态值。达到稳态值。暂态时间：暂态时间：暂态时间：暂态时间：理论上认为理论上认为理论上认为理论上认为 、电路达稳态。电路达稳态。电路达稳态。电路达稳态。工程上认为工程上认为工程上认为工程上认为 电容放电基本结束。电容放电基本结束。电容放电基本结束。电容放电基本结束。t0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 随时间而衰减随时间而衰减随时间而衰减随时间而衰减小结：小
13、结：4.4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应应 ,都是由初始值衰减为零的都是由初始值衰减为零的指数衰减函数指数衰减函数。2.2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RCRC电路电路 =RCRC ,RLRL电路电路 =L L/R R3.3.同一电路中同一电路中所有响应具有相同的时间常数所有响应具有相同的时间常数。3 3.全响应全响应1.1.1.1.u uC C 的变化规律的变化规律的变化规律的变化规律全响应全响应
14、:电源激励和储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理：根据叠加定理：根据叠加定理：根据叠加定理：全响应全响应全响应全响应 =零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应 +零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应R1 U1C+1+uC U2+2t=0S稳态分量稳态分量零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应暂态分量暂态分量【结论结论结论结论2 2 2 2】全响应全响应全响应全响应 =稳态分量稳态分量稳态分量稳态分量 +暂态分量暂态分量暂态分量暂态分量全响应全响应 【结论结论结论结论1 1 1 1】全响应全响应全响应全响应 =零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应 +零状态响应零状
15、态响应零状态响应零状态响应稳态值稳态值初始值初始值状态变量状态变量的的三要素三要素u uC C(0+)u uC C()=RCRCi iL L(0+)i iL L()=GLGL设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f(t)则：f f(0+)待求响应的待求响应的初始值初始值 f f()待求响应的待求响应的稳态值稳态值 待求响应的待求响应的时间常数时间常数任意变量f(t)的三要素可以证明：f(t)f(t)完全由此三要素决定。完全由此三要素决定。即：含源含源电阻电阻网络网络动动态态元元件件R0CR0L三要素法三要素法三要素法三要素法 在求得在求得 的基础上的基础上,可直接写出可直接写出电路的响应电路的
16、响应(电压或电流电压或电流)对于任何形式的直流一阶电路，对于任何形式的直流一阶电路，求解暂态过程中任一电压、求解暂态过程中任一电压、求解暂态过程中任一电压、求解暂态过程中任一电压、电流的响应电流的响应电流的响应电流的响应 ，可用，可用，可用，可用通用表达式通用表达式通用表达式通用表达式：【三要素法】稳态值稳态值初始值初始值时间常数时间常数稳态值稳态值 f f(0(0+)、f f()和和 三要素法求解暂态过程的要点三要素法求解暂态过程的要点终点终点终点终点起点起点起点起点1)1)1)1)求求求求初始值、稳态值、时间常数初始值、稳态值、时间常数；3)3)3)3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲
17、线画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。2)2)2)2)将求得的三要素结果代入将求得的三要素结果代入将求得的三要素结果代入将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式暂态过程通用表达式；tf f(t t)O O【例例】求求求求换路后稳态换路后稳态换路后稳态换路后稳态电路中的电压和电流电路中的电压和电流电路中的电压和电流电路中的电压和电流 。即求解即求解直流电阻直流电阻性电路中的电压和电流性电路中的电压和电流。【i i c c()=0)=0、u u L L()=0)=0】(1)(1)稳态值稳态值 的计算的计算响应中响应中响
18、应中响应中“三要素三要素三要素三要素”的确定的确定的确定的确定例：例：uC+-t=0C10V5k5k 1 FS5k+-t=03 6 6 6mAS1H1H 画换路后画换路后t=t=的等效电路的等效电路（电容（电容C C 视为开路视为开路,电感电感L L视为短路）视为短路）。在在t=t=的等效电路中，利用两类约束求各稳态值的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。1)由由t t=0=0-等效电路求等效电路求2)2)根据换路定则求出根据换路定则求出独立初始值独立初始值3)3)画画t t=0=0+时时等效电阻电路，求所需等效电阻电路，求所需非独立初始非独立初始值值量量或或在换路瞬间在换路瞬间在换路瞬间在换
19、路瞬间 t t t t=(0=(0=(0=(0+)的等效电路中：的等效电路中：的等效电路中：的等效电路中：电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于其值等于I0,电感元件视为开路。(2)若若 ,电感元件用恒流源代替，注意：注意：(2)(2)初始值初始值 的计算的计算 先画先画先画先画换路前换路前换路前换路前t=t=0 0-稳态稳态稳态稳态等效电路等效电路等效电路等效电路再画再画再画再画换路后换路后换路后换路后t=t=0+0+时刻时刻时刻时刻等效电路等效电路等效电路等效电路 1)1)简单的一阶电路简单的一阶电路简单的一阶电路简单的一阶电路 ，R R0 0=R R;2)2)复
20、杂的一阶电路，复杂的一阶电路，复杂的一阶电路，复杂的一阶电路，R R0 0为为为为换路后的电路换路后的电路换路后的电路换路后的电路除去电源和储能元件除去电源和储能元件除去电源和储能元件除去电源和储能元件后，后，后，后，在在在在 储能元件两端储能元件两端储能元件两端储能元件两端所求得的所求得的所求得的所求得的 无源二端网络的等效电阻无源二端网络的等效电阻无源二端网络的等效电阻无源二端网络的等效电阻。3)3)3)3)时间常数时间常数时间常数时间常数 的计算的计算的计算的计算对于一阶对于一阶对于一阶对于一阶RCRCRCRC电路电路电路电路对于一阶对于一阶对于一阶对于一阶RLRLRLRL电路电路电路电
21、路 注意：注意：类似于应用戴维宁定理解题时，等效电阻的方法类似于应用戴维宁定理解题时，等效电阻的方法类似于应用戴维宁定理解题时，等效电阻的方法类似于应用戴维宁定理解题时，等效电阻的方法R0U0+-CR0R R R R0 0 0 0的计算：的计算：的计算：的计算：从从从从储能元件两端看进去储能元件两端看进去储能元件两端看进去储能元件两端看进去的等效电阻。的等效电阻。的等效电阻。的等效电阻。R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S除去电源和除去电源和除去电源和除去电源和除储能元件除储能元件除储能元件除储能元件 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2=+6+6V V
22、，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k，C C=3 3 F F ，t t00时电路已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时的的 u uC C(t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。u uC C(0(0+)、u uC C()和和 R2R1 U1C+1+uC U2+则：则：电容相当于开路。电容相当于开路。2t=0S 解解 先确定先确定三要素三要素因：因：t t00时电路已处于稳态，时电路已处于稳态，当当t t0 0电路处于稳态时，电路处于稳态时，R2 U1C+1+uCU2+2t=0SR1 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=
23、3V，U U2 2=+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k，C C=3 3 F F ，t t00时电路已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时的的 u uC C(t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。解解 先确定先确定三要素三要素解解 U1C+1+uCU2+2t=0SR1R2t(S)uC(V)402u uC C(t t)变化变化曲线曲线 V 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2=+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k，C C=3 3 F F ，t t00时电路
24、已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时的的 u uC C(t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。t=0+UiLR1R212 8 220V0.6H 例例 图中，如在稳定状态下图中，如在稳定状态下R R1 1被短路，试问短路后经过被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到多少时间电流才达到15A15A？1 1）确定）确定i i(0(0+)解解 先应用三要素法求电流先应用三要素法求电流i i3 3）确定时间常数）确定时间常数 2 2）确定）确定i i()t=0+UiLR1R212 8 220V0.6H根据三要素法公式根据三要素法公式当电流到达当电流到达15A1
25、5A时时所经过的时间为：所经过的时间为：t=0.039S 例例 图中，如在稳定状态下图中，如在稳定状态下R R1 1被短路，试问短路后经过被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到多少时间电流才达到15A15A？解解 先求出三要素：先求出三要素：电路暂态分析的内容电路暂态分析的内容 1.1.1.1.利用电路暂态过程利用电路暂态过程利用电路暂态过程利用电路暂态过程产生特定波形的电信号产生特定波形的电信号产生特定波形的电信号产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。如锯齿波、三角波、尖脉冲
26、等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义研究暂态过程的实际意义:2.2.2.2.控制、预防控制、预防控制、预防控制、预防可能产生的可能产生的可能产生的可能产生的危害危害危害危害 暂态过程开始的瞬间可能暂态过程开始的瞬间可能暂态过程开始的瞬间可能暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流产生过电压、过电流产生过电压、过电流产生过电压、过电流使使使使 电气设备或元件损坏。电气设备或元件损坏。电气设备或元件损坏。电气设备或元件损坏。1)1)1)1)暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。直流电路、交流电路都存在暂态过程直流电路、交流电路都存在暂态过程直流电路、交流电路都存在暂态过程直流电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课我们讲课我们讲课我们讲课的重点是直流电路的暂态过程。的重点是直流电路的暂态过程。的重点是直流电路的暂态过程。的重点是直流电路的暂态过程。2)2)2)2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。影响暂态过程快慢的电路的时间常数。影响暂态过程快慢的电路的时间常数。影响暂态过程快慢的电路的时间常数。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！37