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1、2.二维形式的柯西不等式的向量形式？设是两个向量，则.,当且仅当是零向量，或存在实数k，使=k时，等号成立.第1页/共32页 从三维的角度思考问题，关于柯西不从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？等式会有什么结论（结合图像）？思考第2页/共32页0 xzy0 xy第3页/共32页 观察图，从平面向量的集合背景可以得到观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的类似地，从空间向量的集合背景也可以得到集合背景也可以得到.将空间向将空间向量的坐标代入，化简得量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b
2、32)(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当，当且仅当=共线时，即共线时，即=0.或存在一个数或存在一个数k,使得使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成立时，等号成立.第4页/共32页 探究探究 对比二维形式和三维形式的柯对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？西不等式吗？第5页/共32页第6页/共32页教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.掌握一般形式的柯西不等式的内容掌握一般形式的柯西不等式的内容.2.灵活应用柯西不等式灵活应用柯西不等式.第7页/共32页过程与方法过程与方法1.通过二维柯西不等式推导出一般形式通过
3、二维柯西不等式推导出一般形式的柯西不等式的柯西不等式.2.通过例题熟悉柯西不等式的应用通过例题熟悉柯西不等式的应用.第8页/共32页情感态度与价值观情感态度与价值观培养学生的逻辑思维能力.第9页/共32页教学重难点教学重难点重点重点难点难点 运用柯西不等式分析解决一些运用柯西不等式分析解决一些简单问题简单问题.一般形式的柯西不等式的一般形式的柯西不等式的证明思路证明思路.第10页/共32页柯西不等式的一般形式为(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2 (2)猜猜 想想第11页/共32页分分 析析如果设A=a12+a22+an2,B=a1b1+a2b
4、2+anbn,C=b12+b22+bn2,不等式(2)就是ACB2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.第12页/共32页证证 明明当a1=a2=an=0或b1=b2=bn=0时，(2)式显然成立.设a1,a2,an中至少有一个不为0，则a12+a22+an20.因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(anx+bn)20,所以二次函数f(x)的判别式0，第13页/共32页即4(a1b1+a2b2+anbn)-4(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)0.于是(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anb
5、n)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式=0，以上不等式取等号.第14页/共32页此时，有唯一实数x，使aix=bi(i=1,2,n).若x=0，则b1=b2=bn=0,(2)式成立；若x0，则有 ，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,n)或ai=kbi(i=1,2,n)时，等号成立.第15页/共32页定理（一般形式的柯西不等式）定理（一般形式的柯西不等式）设a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,n）时，等号成立.第
6、16页/共32页例1分析分析 用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.第17页/共32页根据柯西不等式，有(12+12+12)(a12+a22+an2)(1a1+1a2+1an)2,所以n(a12+a22+an2)(a1+a2+an)2即证证 明明第18页/共32页例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.第19页/共32页分析分析 上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.第20页/共32页证证 明明第21页/共32页例3分析分析 由x+2y+3z=1以及
7、x2+y2+z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题.已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.第22页/共32页解：第23页/共32页课堂小结课堂小结1.1.一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式:设a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,n）时，等号成立.第24页/共32页2.一般形式的柯西不等式的应用一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用.第25页/共32页随堂练习随堂练习1.已知a,b,c,dR+，且a+b+c+d=1,求证a2+b2+c2+d2第26页/共32页证证 明明因为4(a2+b2+c2+d2)(a.1+b.1+c.1+d.1)2=(a+b+c+d)2=1,所以a2+b2+c2+d2=1第27页/共32页第28页/共32页证证 明明第29页/共32页习题答案习题答案习题3.2（第41页）第30页/共32页第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页