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1、3.2一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1 .练习：2 .提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：(a2 + b)(c2 +d2)(ac + bdf ； (a2 +b2 +c2)(d2 + e2 + f2)(ad + be + cf)2二、讲授新课：1 .教学一般形式的柯西不等式： 提问：由平面向量的柯西不等式|夕国。|0,如果得到空间向量的柯西不等 式及代数形式
2、？猜想：维向量的坐标？ 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设知出,乙也，e R ,则(a： + a； + , a； )(Z?)2 + Z?92 + , , , + b：) 2 (a 占 +。力2 + +dnbn )2讨论：什么时候取等号？(当且仅当幺=生=%时取等号，假设。尸0) A仇 hn联想：设 3 = 向 +%62 +。也?， 4 =62+22+ 以3 C = /?12+/?22+- +/?/ ,则有 b2-acq ,可联想到一些什么？讨论：如何构造二次函数证明维形式的柯西不等式？(注意分类)点：f (x) = (a； + a； + + ； )%2 + 2(4/? + a2b2 + +
3、(b； + 以 + + ；)，则/(%) =(4% +伪)2 +(a2x + b2)2 4+ (.anx + bn)2 0.又q2+%2+. + Q“2o,从而结合二次函数的图像可知，A = 2(4 + a2b2 + +也) 4(aj + a； + a： ) (b + b+ + b：) W 0即有要证明的结论成立.(注意：分析什么时候等号成立.)变式：。；+22+ q”_L（4+凡+.+ 4）2.（讨论如何证明）n.教学柯西不等式的应用： 出示例1：已知3x + 2y + z = l,求f+ 9+ Z?的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？一板演一变式： 练习：若且LLL1,求x + 4三的最小值. x y z2 3出示例 2： 若abc , 求证： 一! 十一2一 a-b b-c a-c加 i11119要点：（a c）（） = （一 ） + S c）（）（1 + 1）2=4a-b b-ca-b b-c2 .小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1.练习：教材P414题2.作业：教材%5、6题