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1、曲线和曲面上积分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望曲面积分曲面表示和曲面上的测度第一型曲面积分(质量)第二型曲面积分(流量)2曲面的映射观点定义设a,bRk,:a,b Rn(nk+1)若连续,称S=(a,b)为 Rn中的连续超曲面若具有一阶连续导数,且ta,b,(t)满秩,称S=(a,b)为 Rn中的k维光滑超曲面;若是单射,S=(a,b)为 Rn中的k维正则超曲面若连续,且存在a,b可以分成m个内部不相交的闭区域Wj,Lj=(Wj)是k维光滑(正则
2、)超曲面,称S=(a,b)为 Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面3曲面的集合观点定义设SRn,若存在:a,b Rk Rn,有S=(a,b)若连续,就称S为Rn中的一个连续超曲面,称为S的一个表示若光滑且导数点点不为零,就称S为Rn中的k维光滑超曲面,称为S的光滑表示若光滑,单射且导数点点不为零,就称S为 Rn中的一条正则曲面,称为S的正则表示4同一超曲面可以有不同的表示同一超曲面可以有不同表示：集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示;几何上正则的超曲面未必有正则表示;几何上非正则的超曲面一定没有正则表示在下面的讨论中,我们总假设连续,S是正则或分片正则超曲面,是其相应的表示因此将对超曲面的两
3、种观点统一5超曲面的分类设:a,b Rn(n2),连续若是单射,称L=(a,b)为Rn中的简单曲面 Rn中的闭超曲面：？Rn中的简单闭超曲面：不带边的紧流形 6超曲面的方向(定向)可定向曲面(双侧曲面)不可定向曲面(单侧曲面)7正则超曲面面积的定义设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b),定义S的k维面积为其中上标T表示矩阵的转置8对超曲面面积公式的说明面积公式的推导 Rn中k维平行2k面体的体积计算 用切超平面块近似超曲面面积n-1维超曲面的面积公式 由参数方程给出的曲面体积公式 由函数图像给出的曲面体积公式9 Rn中k维平行2k面体的体积设E是由Rn中k个线性无关向量
4、V1,V2,Vk所张成的平行2k面体,由Schmidt正交化方法得到与其等体积的直角平行2k面体E0,张成E0的k个向量是a1,a2,.,ak两组向量间的关系10平行2k面体的体积(续1)体积公式:|E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是也就是11平行2k面体的体积(续2)由此就得到其中注意Vj都是列向量.12平行2k面体体积公式解释Binet-Cauchy公式:设A=(aij)nk,B=(bij)nk,则对这个公式的解释:Rn中的平行2k面体的体积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投影的平方和(一般勾股定理)13用切超平面块近似超曲面面积设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则
5、,S=(a,b).下面按微元法给出超曲面的面积公式:任取a,b的一个分法W:W1,Wm.Sj=(Wj),j=1,m.取tjWj,用近似Sj的体积,然后求和-取极限就得到公式.14n-1维超曲面的面积公式(1)由参数方程给出的曲面体积公式:设a,bRn-1,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).此时,习惯上有下面的记法其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量15n-1维超曲面的面积公式(2)由函数图像给出的曲面体积公式:函数图像公式a,bRn-1,g:a,b R,(t)=(t,g(t),S=(a,b)16正则超曲面上的测度设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).ES,如果-1(E)是a,b的可测集,就说E是S的可测集,其测度定义为17