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1、导数的应用函数的最值1 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方法是方法是:如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极大值是极大值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极小值是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充分条件分条件.极值
2、只能在函数不可导的点或导数为零的点取极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到到.3.在某些实际问题中在某些实际问题中,我们所关心的往往是函数在一个我们所关心的往往是函数在一个定义区间上定义区间上,哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.前课复习前课复习前课复习前课复习如何用导数来解决函数的最大值、最小值问题？如何用导数来解决函数的最大值、最小值问题？x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y观察右边一个观察右边一个定义在区间定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在区间
3、上的函数的最大值是值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(xf(x1 1)、f(xf(x3 3)f(xf(x2 2)f(bf(b)f(xf(x3 3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？连续函数的最大值和最小值定理连续函数的最大值和最小值定理如果如果f(x)f(x)是闭区间是闭区间a,ba,b上的连续函数，那么上的连续函数，那么f(x)f(x)在闭在闭区间区间 a,b a,b上上必必有最大值和最小值。有最大值和最小值。新课引入新课引入新课引
4、入新课引入 设函数设函数f(x)f(x)在在a,ba,b上连续上连续,在在(a,b)(a,b)内可导内可导,则求则求f(x)f(x)在在a,ba,b上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：:求求y=f(x)y=f(x)在在(a(a，b)b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值););:将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)f(b)作比较作比较,其中其中最大的一个为最大值最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)(1)函数的极值是在局部范围内
5、讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局是一个局部概念部概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整是在整体范围内讨论问题体范围内讨论问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)(2)闭区间闭区间a,ba,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)(a,b)内的可导函数不一定有最值内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极但若有唯一的极值值,则此极值必是函数的最值则此极值必是函数的最值.新课教学新课教学新课教学新课教学(3)(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个个,而函
6、数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),),但但除端点外在区间内部的最大值除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),),则一定是则一定是极大值极大值(或极小值或极小值).).(4)(4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,ba,b上可导上可导,则在确定函数则在确定函数的最值时的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)(5)在
7、解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有如果函数在区间内只有一个极值点一个极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),),那么要根据那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端不必再与端点的函数值进行比较点的函数值进行比较.新课教学新课教学新课教学新课教学例例 求函数求函数 y=x y=x4 4-2x-2x2 2+5+5在区间在区间-2,2-2,2 上的最大值上的最大值与最小值。与最小值。x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y-0+0-0+y1313454当当x变化时，变化时，y、y的变化情
8、况如下表：的变化情况如下表：故函数的最大值为故函数的最大值为13,最小值为最小值为4.例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解当当x x变化时，变化时，y y、y y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在比较以上各函数值，可知函数在4 4 ,4,4 上的最大值为上的最大值为 f f(4)=76(4)=76，最小值为，最小值为 f f(1)=(1)=5 5解解:(1)(1)由由 f f (x x)=3)=3x x +6+6x x9=0,9=0,(2)(2)区间区间4 4 ,4,4 端点处的端点处
9、的函数函数 y=x+3 x9x在在 4,4 上上的最大值为的最大值为 ,最小值为最小值为 。例例.得得x x1 1=3 3，x x2 2=1=1 函数值为函数值为f f(3)=27,3)=27,f f(1)=(1)=5 5函数值为函数值为f f(4)=20,4)=20,f f(4)=76(4)=76例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。最大值最大值 f(1)=3，最小值，最小值 f(3)=61最大值最大值 f(3/4)=5/4，最小值，最小值 f(5)=5+课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习最大值最大值 f(/2)=/2，
10、最小值，最小值 f(/2)=/2 例例:求函数求函数 在区间在区间-1,3上的最大值与上的最大值与最小值最小值.解解:令令 ,得得相应的函数值为相应的函数值为:又又f(x)f(x)在区间端点的函数值为在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0:f(-1)=6,f(3)=0比较得比较得,f(x)在点在点 处取得最大值处取得最大值在点在点 处取得最小值处取得最小值例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解练习练习:求函数求函数f(x)=pf(x)=p2 2x x2 2(1-x)(1-x)p p(p(p是正数是正数)在在0,10,1上上的最大值的最大值.解解:令令 ,解得解得在在0,1上上,有有f(0
11、)=0,f(1)=0,故所求最大值是故所求最大值是练习练习:求函数求函数f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+14-12x+14在区间在区间-3,4-3,4上的上的最大值和最小值最大值和最小值.答案答案:最大值为最大值为f(4)=142,f(4)=142,最小值为最小值为f(1)=7.f(1)=7.课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习练习：练习：P132设函数设函数f(x)f(x)在在a,ba,b上连续上连续,在在(a,b)(a,b)内可导内可导,则求则求f(x)f(x)在在a,ba,b上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：:求求y=f(x)在在(a，
12、b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);:将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)作比较作比较,其中其中最大的一个为最大值最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值.注：注：如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函数则在确定函数的最的最 值时值时,不仅比较该函数各不仅比较该函数各导数为零的点导数为零的点与与端点处端点处的值的值,还要比较函数在定义域内各还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值不可导的点处的值.课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结补充补充1:1:设设 ,函数函数 的最的最 大值为大值为1,最小值为最小值为 ,
13、求常数求常数a,b.解解:令令 得得x=0或或a.当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f(x)+0 -0 +f(x)-1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知由表知,当当x=0 x=0时时,f(x),f(x)取得极大值取得极大值b,b,而而f(0)f(a),f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较故需比较f(1)f(1)与与f(0)f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以f(x)
14、f(x)的最大值为的最大值为f(0)=b,f(0)=b,故故b=1.b=1.又又f(-1)-f(a)=(a+1)f(-1)-f(a)=(a+1)2 2(a-2)/20,(a-2)/21,0p1,0 x x1,1,求函数求函数f(x)=xf(x)=xp p+(1-x)+(1-x)p p的值域的值域.说明说明:由于由于f(x)f(x)在在0,10,1上连续可导上连续可导,必有最大值与必有最大值与最小值最小值,因此求函数因此求函数f(x)f(x)的值域的值域,可转化为求最值可转化为求最值.解解:令令 ,则得则得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.而而 f(0)=f(1)=1,因为因为p1,故故11/2p-1.所以所以f(x)的最小值为的最小值为 ,最大值为最大值为1.从而函数从而函数f(x)的值域为的值域为补充例题补充例题补充例题补充例题