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1、三重积分的概念与计算一一.三重积分的概念三重积分的概念分割分割求和求和取极限取极限近似近似 可得可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”三重积分的性质与可积函数类同二重积分。三重积分的性质与可积函数类同二重积分。x0z yz2(x,y)为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体I=PNM.积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 Dz1(x,y)2).2).2).2).计算三重积分计算三重积分计算三重积分计算三重积分 这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和一个二重积分的运算一个二重积分的运算一个二重积分的运算一个二重积分的运算解：解：的上底与下底分
2、别为：的上底与下底分别为：投影区域为投影区域为DD，如图所示：，如图所示：0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图Dxy:y=0,3x+y=6,3x+2y=12 围成围成z=0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy.666x+y+z=63x+y=62.x0z y666x+y+z=63x+y=62x0z y3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y423x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42z=0y=042x+y+z=6x0z y66642.x0z y666.D0y x624D.1x+y=1y
3、ozx1z=xy.例例例例3.3.3.3.z=01x+y=1ozx1yz=xy.例例例例3.3.3.3.11z=0ozxx+y=1y 。z=xy.例例例例3.3.3.3.x0z yc1c2z Dz3)3)3)3)计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 x0z yc1c2.先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分zDz3)3)
4、3)3)计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）x0z yc1c2 I=.先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分zDz3)3)3)3)计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）x0z yc1c2.先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分I=3)3)
5、3)3)计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）解：解：截痕截痕园园抛物线抛物线的面积。的面积。解：解：分分析析解：解：4).4).4).4).三次积分法三次积分法三次积分法三次积分法设区域设区域投影法投影法利用投影法结果利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:得：得：注意：注意：例例例例7.7.7.7.计算三重积分计算三重积分计算三重积分计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”解：解：hw：p181 1(1,3)2,6(1,3).三三.三重积
6、分的变量替换三重积分的变量替换类似二重积分的变量替换。类似二重积分的变量替换。0 xz yM(r,z)z rNxyz(x,y,z)(r,z)z=z1.1.1.1.柱坐标下计算三重积分柱坐标下计算三重积分柱坐标下计算三重积分柱坐标下计算三重积分.规定：规定：柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为:z动点动点M(r,z)柱面柱面Sr=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：x0yzMrS S z柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面动点动点M(r,z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：zx0yzMrS S P P
7、柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面xz y0 drrrd d z平面z元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体
8、积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.dV如图所示如图所示如图所示如图所示,在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为因此因此其中其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被
9、积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.解：解：知交线为知交线为解：解：可用柱坐标可用柱坐标Wed.Apr.10 Review三重积分的概念三重积分的概念三重积分的直角坐标计算三重积分的直角坐标计算1.1.三重积分的柱坐标计算三重积分的柱坐标计算解：解：解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下原式原式=或或解：解：Hw:p182 3.0 xz yM(r,)r Pyxz .2.2.2.2.球坐标下计算三重积分球坐标下计算三重积分球坐标下计算三重积分球坐标下计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为 SrM yz x0r=常数常数:=常数常数:球面球
10、面S动点动点M(r,)球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 C Cr=常数常数:=常数常数:S S球面球面S半半平面平面P动点动点M(r,)M yz x0 P P =常数常数:锥面锥面C.r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面+d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆
11、锥面 及及+d r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV=球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为解：解：解解:作广义球坐标变换作广义球坐标变换利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：.积分区域关于坐标面的对称性；积分区域关于坐标面的
12、对称性；.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴奇偶性奇偶性解解:积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，解解:0 xz yab例例例例6.6.6.6.b0 xz ya 问题问题：2 要不要分块？要不要分块？3 怎么分块？怎么分块？把图形放大一些把图形放大一些把图形放大一些把图形放大一些1 用哪种坐标？用哪种坐标？（球系）（球系）.例例例例6.6.6.6.0 xz yba联立联立r=2a cos r=b交线交线 L交线交线 L处处.例例例例6.6.6.6.0 xz yba.xz y.例例例例6.6.6.6.0 xz yba.I=I1+I2.I2=2例例例例6.6.6.6.解：解：（1 1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2 2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3 3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标hw：p182 4,5(双双).