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1、作 业,115页 3, 4, 6, 12, 13,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分的概念与计算,第九章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘积和式” 极限,三重积分的性质,1. 线性性质、单调性、积分估值公式,2. 区域可加性,4. 微元法,5. 对称奇偶性*,二
2、、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法1. 投影法 (“先一后二” ),投影法,三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,适用范围: 由平面围成的情况,其中 为三个坐标,例.计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,.计算 ,其中 由锥面,及平面 围成.,解：,例2.,化 为三次积分， 由曲面,及平面 围成.,解：如图,所以,曲面与 xOy 坐标面交于 x 轴和 y 轴 .,例1.,方法2. 截面法 (“先二后一”),特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表
3、示的情况。,其中 为三个坐标,例3. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,面及平面,轴和 围成的等腰直角三角形.,所以,注：此题可用投影法求解,计算三重积分,解：,则,而,原式,例4.,例. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,补充：三重积分对称性：,补充：三重积分对称性：,2、奇偶对称性：,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,球面关于xoy面对称,解,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,3. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,to be continue,作 业,115页 3, 4, 6, 12, 13,换元法,三重积
4、分也有类似二重积分的换元积分公式:,体积元素,一一对应,雅可比行列式,利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,圆柱面,平面,半平面,圆柱面,半平面,平面,在柱面坐标下,若,从小到大 边界到边界,则有,在投影区域上做极坐标变换,例. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,4. 计算,其中,解:,利用对称性,利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,在球面坐标系中,从小到大，从边界到边界。,体积元素为,化为三次积分，,求 的体积，,解： 球面方程为,在球坐标系下方程为,所以,例6.,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,2 计算,，其中,为双曲面,，锥面,及柱面,围成,思考与练习,3. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,其中 由锥面,平面 围成.,解法：用投影法.,计算,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例6.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体,且关于 xoz,The End,