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1、三重积分的概念与计算第1页，本讲稿共24页一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,采用采用 引例引例:设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M.密度函数为密度函数为第2页，本讲稿共24页定义定义.设设存在存在,称为称为体积元素体积元素,若对若对 作作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写
2、作在直角坐标系下常写作下列下列“乘乘积和式积和式”极限极限记作记作性质：三重积分的性质与二重积分相似性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如例如:当当 时时,为立体为立体 的体的体积。积。又如：中值定理又如：中值定理：在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,V 为为 的体积的体积则存在则存在 使得使得第3页，本讲稿共24页二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)方法方法3.三次积分法三次积分法 先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体
3、 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数的密度函数,方法方法:第4页，本讲稿共24页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)记作记作第5页，本讲稿共24页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底为底,d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为该物体的质量为该物体的质量为面密度面密度记作记作第6页，本讲稿共24页投影法投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域设区域利用投影法结果利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:第7页，本讲稿
4、共24页小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次积分”具体计算时应根据具体计算时应根据三种方法三种方法(包含包含12种形式种形式)各有特点各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择.第8页，本讲稿共24页例例1.化化 为三次为三次积分，积分，由曲面由曲面及平面及平面 围成围成.解：如图解：如图所以所以第9页，本讲稿共24页其中其中 为三个坐标为三个坐标例例3.计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:如图，如图，：面及平面面及平面为为 面上面上 轴，轴，
5、轴和轴和 围成的等腰直角三角围成的等腰直角三角形形.所以所以 注：此题亦可尝试用投影法求解三重积分注：此题亦可尝试用投影法求解三重积分第10页，本讲稿共24页例例4.计算三重积分计算三重积分，其中，其中是上半椭球体是上半椭球体 解：解：则则而而原式原式第11页，本讲稿共24页2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面第12页，本讲稿共24页如图所示如图所示,在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为因此因此其中其中适用范围适用范围:1)积
6、分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第13页，本讲稿共24页例例2.计算计算 ,其中其中 由锥面由锥面平面平面 围成围成.用投影法用投影法.第14页，本讲稿共24页例例5.计算三重积分计算三重积分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式=第15页，本讲稿共24页3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为坐标面分别为球面球面半平面
7、半平面锥面锥面第16页，本讲稿共24页如图所示如图所示,在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为因此有因此有其中其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.第17页，本讲稿共24页例例6.如图，求立体如图，求立体 的体积，的体积，为为 在在 轴的交点轴的交点.上曲面球心在上曲面球心在 ,半径为半径为,下锥面半顶角为下锥面半顶角为 .解：解：边界曲面方程为边界曲面方程为在球坐标系下方程为在球坐标系下方程为可表示为可表示为所以所以则则第18页，本讲稿共24页例例
8、7.计算三重积分计算三重积分解解:在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面第19页，本讲稿共24页内容小结内容小结积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁,或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为变量可分离变量可分离.围成围成;第20页，本讲稿共24页1.将将用三次积分表示用三次积分表示,其中其中 由由所所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面六个平面围成围成,第21页，本讲稿共24页2.设设计算计算提示提示:利用对称性利用对称性原式原式=奇函数奇函数第22页，本讲稿共24页3.设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成,计算计算提示提示:利用对称性利用对称性用球坐标用球坐标 第23页，本讲稿共24页4.计算计算其中其中解解:利用对称性利用对称性第24页，本讲稿共24页