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1、可靠度第31讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1 3.1 一次二阶矩法一次二阶矩法 设设 为影响结构功能的为影响结构功能的n个随机变量，结个随机变量，结构功能函数为构功能函数为 将结构功能函数在点将结构功能函数在点 (i=1,2,n)泰勒级数展开，泰勒级数展开，即有即有 为了得到线性极限状态方程，近似地只取到一次为了得到线性极限状态方程，近似地只取到一次项，得到项，得到 对于非线性的结构功能函数，在均值点进行泰勒对于非线性的结构功能函数，在均值
2、点进行泰勒级数展开并取得一次式，称之为均值一次二阶矩级数展开并取得一次式，称之为均值一次二阶矩法。由于结构功能函数是在均值点展开的。故又法。由于结构功能函数是在均值点展开的。故又称之为中心点法。称之为中心点法。一、均值一次二阶矩法一、均值一次二阶矩法(中心点法中心点法)功能函数是表示在功能函数是表示在(n+1)维空间中的一个超曲面，维空间中的一个超曲面，若若Z=0则表示在则表示在n维空间中的一个极限状态超曲面维空间中的一个极限状态超曲面经展开近似后的功能函数式则是指通过超曲面上经展开近似后的功能函数式则是指通过超曲面上中心点的超曲面，所谓一次近似，就是用这个极中心点的超曲面，所谓一次近似，就是
3、用这个极限状态超曲面来近似极限状态超曲面。限状态超曲面来近似极限状态超曲面。极限状态方程：极限状态方程：假定所有基本变量均服从正态分布，且统计独立，假定所有基本变量均服从正态分布，且统计独立，则则Z的平均值和标准差为：的平均值和标准差为：将将X空间按下述关系表示：空间按下述关系表示：得到的近似极限状态超平面为：得到的近似极限状态超平面为：将将X空间变换到空间变换到 空间，空间，空间的原点就是在空间的原点就是在X空空间中，以基本变量平均值为坐标的中心点间中，以基本变量平均值为坐标的中心点M。从从 空间的原点（即中心点空间的原点（即中心点M）到该平面的距离为）到该平面的距离为 在几何意义上，在几何
4、意义上，是指在经标准化变换后的空间中，是指在经标准化变换后的空间中，从中心点到近似的极限状态超平面的距离。从中心点到近似的极限状态超平面的距离。例例1.圆截面直杆，承受拉力圆截面直杆，承受拉力P=100kN,设杆的直径设杆的直径d和材料的应力屈服极限和材料的应力屈服极限 为随机变量，其均值和标为随机变量，其均值和标准差分别为准差分别为 试计算直杆的抗拉可靠指标。试计算直杆的抗拉可靠指标。解：若建立用内力表示的极限状态方程，可得解：若建立用内力表示的极限状态方程，可得 于是得到线性化的极限状态方程为于是得到线性化的极限状态方程为 解：若建立用应力表示的极限状态方程，可得解：若建立用应力表示的极限
5、状态方程，可得将此方程在均值点线性化得将此方程在均值点线性化得 例例2.已知结构有两个随机变量已知结构有两个随机变量R和和S，功能函数分别，功能函数分别为为:,R和和S的平均值和变异的平均值和变异系数分别为：系数分别为：分别用分别用 和和计算结构可靠指标。计算结构可靠指标。均值一次二阶矩法的优点：均值一次二阶矩法的优点：(1)概念清楚，计算简便，可导出解析表达式，直接给概念清楚，计算简便，可导出解析表达式，直接给出可靠指标与随机变量统计参数分布的关系，分析出可靠指标与随机变量统计参数分布的关系，分析问题方便灵活。问题方便灵活。(2)当结构可靠指标较小，即失效概率较大时，失效概当结构可靠指标较小
6、，即失效概率较大时，失效概率的值对功能函数中的随机变量的概率分布类型并率的值对功能函数中的随机变量的概率分布类型并不十分敏感，即由各种合理分布算出的失效概率值不十分敏感，即由各种合理分布算出的失效概率值大多在同一数量级，其精度也足够了。大多在同一数量级，其精度也足够了。均值一次二阶矩法的缺点：均值一次二阶矩法的缺点：(1)对承受同一荷载的同一构件，若采用不同的功能函对承受同一荷载的同一构件，若采用不同的功能函数来描述结构构件的同一功能要求，则采用均值法数来描述结构构件的同一功能要求，则采用均值法可能会得到不同的可靠指标值。可能会得到不同的可靠指标值。(2)均值法是选取随机变量的均值点，作为功能
7、函数的均值法是选取随机变量的均值点，作为功能函数的线性化点，由此计算的可靠指标值将产生较大误差，线性化点，由此计算的可靠指标值将产生较大误差，这也是均值点不能用于实际工程分析的主要原因。这也是均值点不能用于实际工程分析的主要原因。为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变量概念，把极限状态函数推等人提出当量正态变量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验算点法，广到多个变量的非线性的情况，建立了验算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用。这种设计模式对任何分布类型都适用。1 1 两个相互独立的正态分布变量两个相互独立
8、的正态分布变量R R和和S S极限状态方程极限状态方程为：为：对对R R和和S S作标准化变换作标准化变换SRR=S极限状态线极限状态线二、改进的一次二阶矩法二、改进的一次二阶矩法(验算点法验算点法)以以 和和 表述极限状态表述极限状态用除上式得用除上式得 极限状态线极限状态线 极限状态线极限状态线极限状态直线的极限状态直线的标准法线式方程标准法线式方程(1)(1)的几何意义的几何意义 标准正态化坐标系中标准正态化坐标系中,原点原点o o到到极限状态直线的最短距极限状态直线的最短距离离 o oP P*，coscosS S、coscosR R为为o oP P*对各坐标向量的方向余弦对各坐标向量的
9、方向余弦 极限状态线极限状态线(2)(2)设计验算点设计验算点在原坐标系中，验算点的坐标在原坐标系中，验算点的坐标且点且点P P*在在极限状态直线上，极限状态直线上，S S*、R R*满足满足极限状态方程极限状态方程在标准正态化坐标系中，结构的在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点极限状态直线上距离原点最近的点P P*称为结构的设计验算点称为结构的设计验算点 2 2 多个正态分布随机变量多个正态分布随机变量极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布Z=g(X1,X2,.,Xn)0对对X Xi i作标准
10、化变换作标准化变换在在n n维空间中表示一个失维空间中表示一个失效曲面，推导可知：效曲面，推导可知：在标准正态坐标系中原点在标准正态坐标系中原点到曲面的最短距离到曲面的最短距离P P*就就是结构可靠指标是结构可靠指标12n极限状态曲面极限状态曲面P*设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的点点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点故称
11、之为结构设计验算点故称之为结构设计验算点可证明在原坐标系中可证明在原坐标系中P*的坐标为的坐标为由于由于P P*点未知，用式点未知，用式 不能直接求出不能直接求出，需采用迭代法结合式，需采用迭代法结合式 确定结构设计验算点坐标和计算确定结构设计验算点坐标和计算(1)(1)假设一组假设一组X Xi i值，通常取值，通常取X Xi ii i(2)(2)求求coscosi i(3)(3)由由X Xi i*=i icoscosi i+i i，求，求X X1 1*，X X2 2*，X Xn n*(4)(4)代入代入g(Xg(X1 1*，X X2 2*，X Xn n*)=0)=0求求(5)(5)重复重复(
12、2)-(4)(2)-(4)求求,与前一轮值比较，直至两轮与前一轮值比较，直至两轮值的差小于值的差小于 允许值为止允许值为止 3 3 多个非正态分布随机变量多个非正态分布随机变量需在设计验算点需在设计验算点x xi i处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随机变量（当量正态化处理）机变量（当量正态化处理）0 0X Xf(Q)f(Q)X X*根据设计验算点根据设计验算点xixi处当处当量正态化条件量正态化条件得得当量正态变量当量正态变量i i的特征值的特征值求出求出XiXi、XiXi后根据验算点法可计算后根据验算点法可计算值值式中式中标准正态分布概率
13、密度函数标准正态分布概率密度函数在验算点处，当量前后在验算点处，当量前后分布函数值相等；分布函数值相等；当量前后概率密度函数当量前后概率密度函数值相等值相等例例8-28-2 例例8-18-1钢拉杆钢拉杆R服从对数正态分布，服从对数正态分布，S服从极值服从极值型分布型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标按验算点法计算拉杆可靠指标解：解：假设验算点坐标：假设验算点坐标：S*=S=60kN R*=R=135kN将将R、S当量正态化当量正态化5求求6 求求S*R*重复重复2-6,计算见表计算见表8-4 =3.30054 求求S*、R*3计算方向余弦计算方向余弦三三 响应面法响应面法 由概率的定义可知，某事
14、件的发生概率可以用大由概率的定义可知，某事件的发生概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算。因此在结构量试验中该事件发生的频率来估算。因此在结构可靠度计算过程中可以通过对随机变量进行大量可靠度计算过程中可以通过对随机变量进行大量的随机抽样然后这些抽样值一组一组的代入结构的随机抽样然后这些抽样值一组一组的代入结构功能函数功能函数g(x)，根据计算得到的功能函数值确定，根据计算得到的功能函数值确定结构安全与否，最后根据事件发生的次数计算结结构安全与否，最后根据事件发生的次数计算结构的可靠度或失效概率。构的可靠度或失效概率。1、一次响应面法、一次响应面法 设含有两个基本随机变量设含有两个基本随机变
15、量 的极限状态函数为的极限状态函数为 ，它一般是非线性的，取响应面函数为一次多项，它一般是非线性的，取响应面函数为一次多项式，即式，即 为了确定为了确定a0、a1和和a2，首先以均值，首先以均值mx为中心，在区为中心，在区间间(mx-x,mx+x)内选取内选取2+1个样本点。由样本点个样本点。由样本点可计算得到可计算得到 的值，在由式子建立三个的值，在由式子建立三个方程求解系数方程求解系数a0、a1和和a2。响应面函数确定后，即可计算结构的可靠指标响应面函数确定后，即可计算结构的可靠指标和设计验算点的值。和设计验算点的值。2、二次响应面法、二次响应面法 (1)以均值点为中心点，在区间以均值点为
16、中心点，在区间(mx-fx,mx+fx)内内选取样本点，由样本点可计算得到选取样本点，由样本点可计算得到2n+1个函数个函数g(x)值，然后确定响应面的待定系数，得到响应值，然后确定响应面的待定系数，得到响应面函数之后，即可求出极限状态面上设计验算面函数之后，即可求出极限状态面上设计验算点点XD的近似值。的近似值。(2)选取新的中心点，新中心点选取新的中心点，新中心点XM可选在均值点与设可选在均值点与设计验算点计验算点XD的连线上，并保证满足极限方程，即的连线上，并保证满足极限方程，即 重复重复(1)的工作，即可得到极限状态面上设计验的工作，即可得到极限状态面上设计验算点的值和相应的可靠指标。整个过程需要求算点的值和相应的可靠指标。整个过程需要求解解4n+3个函数个函数g(x)的值。的值。