第31讲简单递推数列.ppt

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1、1.了解递推公式也是给出数列的一了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项件的项.2.掌握简单递推数列的通项公式的掌握简单递推数列的通项公式的求法求法.3.熟悉递推公式模型，灵活应用求熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前解通项及前n项和项和.1.已知数列已知数列an满足满足a1=1,an-an-1= (n2),则则an= .11nn 1n- +12 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=( - )+( - )+( - )+1= - +1.1nnn1n321n22.已知已知a1=1,an= an+1,

2、则则an= .1nn1n 由由 = 得，得， = , = , = .以上各式累乘得以上各式累乘得an= = .1nn1nnaa21aa1232aa231nnaa1nn12231nn1n3.数列数列an中中,a1=1，对所有的，对所有的n2都有都有a1a2a3an=n2,则则a3+a5= .6116 因为因为a1a2a3=32,a1a2=22,所以所以a3= .因为因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,所以所以a5= ,所以所以a3+a5= + = .9425162516361661164.(2010长郡中学长郡中学)已知对任意正整数已知对任意正整数n，a1+a2+a3+an=

3、2n-1,则则a12+a22+a32+an2等于等于( )CA.(2n-1)2 B. (2n-1)C. (4n-1) D.4n-11313 易知易知a1=1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也适合，故也适合，故an是以是以2为公比的等比数列，为公比的等比数列，则则an2是以是以1为首项，以为首项，以4为公比的等比数为公比的等比数列，故列，故S= = (4n-1).131(1 4 )1 4n5.已知已知a1=3,f(x)=x2,且且an+1=f(an),则则an= .32n-1由由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知知an=32n-1.常见递推数列的通项公式的求

4、法常见递推数列的通项公式的求法(1)若若an-an-1=f(n),求求an可用可用 法法.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2).(2)若若 =f(n),求求an可用可用 法法.an= a1(n2).(3)已知已知a1a2an=f(n),求求an,用用 法法 f(1) (n=1) (n2).迭加迭加1nnaa累乘累乘1nnaa12nnaa21aaan=作商作商( )(1)f nf n(4)若若an+1=f(an),求求an可用可用 法法.(5)若若an+1=kan+b,则可化成则可化成(an+1+x)=k(an+x),从而从而an+x是是 数列，其中数列

5、，其中x可以由可以由 求出求出.(6)若若an=kan-1+bn(k,b为常数为常数)，可以用待定，可以用待定系数法转化为公比为系数法转化为公比为k的等比数列，再求的等比数列，再求an.(7)若数列若数列an满足满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则可化为则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中其中x,y可用待可用待定系数法求得定系数法求得,从而从而an+1-xan构成构成 数列数列.迭代迭代等比等比待定系数法待定系数法等比等比(8)若若an+1an+pan+qan+1=0,可化可化成成 1+ + =0,令令 =bn，从而上，从而上式变成式变成bn+1=

6、kbn+b型型.(9)已知已知Sn的递推关系，先求出的递推关系，先求出Sn，再求，再求an，用作差法：，用作差法： S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n2).1npanpa1naan=例例1 ( 1 ) 在 数 列在 数 列 an 中 ，中 ， a1= 1 ，an+1=an+3n2,求数列求数列an的通项公式；的通项公式； ( 2 ) 已 知 数 列已 知 数 列 an 满 足满 足 a1= 1 ，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，求，求数列数列an的通项公式的通项公式an. (1)由题意，由题意，an+1=an+3n2，a1=1，所以所以a2=a1+312,a3=a2

7、+322,a4=a3+332,an-1=an-2+3(n-2)2,an=an-1+3(n-1)2，逐项相加，得逐项相加，得an=a1+312+22+(n-1)2 =1+3 =1+ .(1) (22)6nnn(1) (22)2nnn(2)当当n2时时,有有an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1, an+1=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1+nan, 由由-,得得an+1-an=nan,即即an+1=(n+1)an, 所以所以an= a2 =n(n-1)a2.由于由于a2=a1=1，a3=a1+2a2=3，则当则当n2时时,an=n(n-1)(n-2)a2 =n(n-1)(n-2)

8、3, 1 (n=1) n(n-1)(n-2)3 (n2).1nnaa12nnaa32aa所以所以 an= 对对an+1-an=f(n)型和型和 =g(n)型可型可以采用叠加或叠乘，只要叠加或叠乘以采用叠加或叠乘，只要叠加或叠乘后右边可以化简即可，同时要注意自后右边可以化简即可，同时要注意自变量变量n的取值范围的取值范围.1nnaa已知数列已知数列an满足满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求求a2,a3;(2)证明：证明：an= .312n (1)因为因为a1=1,所以所以a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)证明：由已知证明：由已知an-an-1=3n-1(n2),

9、故故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+3+1= .n=1也适合上式也适合上式.所以证得所以证得an= .312n312n例例2 已知数列已知数列an,bn满足满足a1=2,b1=1,且且an= an-1+ bn-1+1 bn= an-1+ bn-1+1(n2).(1)令令cn=an+bn,求数列求数列cn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和公式项和公式Sn.34141434 (1)由题设得由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n2),即即cn=cn-1+2(n2).易知易知cn是首

10、项为是首项为a1+b1=3,公差为公差为2的等差的等差数列数列,所以通项公式为所以通项公式为cn=2n+1(nN*).(2)由题设得由题设得,an-bn= (an-1-bn-1)(n2).令令dn=an-bn,则则dn= dn-1(n2).易知易知dn是首项为是首项为a1-b1=1,公比为公比为 的等比数列，的等比数列，通项公式为通项公式为dn= . an+bn=2n+1 an-bn= ,解得解得an= +n+ .求和得求和得Sn=- + +n+1.121212112n由由112n12n1212n22n 本题考查等差、等比数列的基础本题考查等差、等比数列的基础知识，考查基本运算能力，解答关键知

11、识，考查基本运算能力，解答关键是将原问题转化为熟知的等差、等比是将原问题转化为熟知的等差、等比数列问题求解数列问题求解.例例3 (1)已知数列已知数列an，其中，其中a1=10，且当，且当n2时，时，an= ，求数列，求数列an的通项公的通项公式式an；(2)在正项数列在正项数列an中，中，a1=10，an+12=an3，求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前5项之和项之和.11565nnaa (1)将将an= 两边取倒数得两边取倒数得 - = (n2)， 即即 是以是以 = 为首项，以为首项，以 为公为公差的等差数列，差的等差数列，所以所以 = +(n-1) = ,即即an= .n=1

12、也适合上式也适合上式.11565nnaa1na11na651na11a110651na11065121110n101211n(2)因为因为an+12=an3，即，即2lgan+1=3lgan,所以所以 = ,即即lgan是以是以lga1=1为首项，以为首项，以 为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以lgan=1( )n-1,即即an=10( )n-1,所以所以a1a2a3a4a5=10( )010( )110( )210( )310( )4=10( )0+( )1+( )2+( )3+( )4= .1lglgnnaa323232323232323232323232322111610 形如形

13、如an+1= ，去分母后变为，去分母后变为an+1an+pan+qan+1=0, 再化为再化为 + =0，令，令 =bn，从而上，从而上式可变为式可变为bk+1=kbn+b型；形如型；形如an+1p=anq型，两边取对数，从而直接转换，但型，两边取对数，从而直接转换，但应注意大前提应注意大前提“为正为正”.nnmanka1npanqa1na例例4 已知数列已知数列an中，其中中，其中a1= ，且，且an+1=-2an+5，求，求an的前的前n项和项和Sn.83 由题意，原递推式可变形为由题意，原递推式可变形为an+1+=-2(an+)，即即an+1=-2an-3,与原递推式比较得与原递推式比较

14、得=- ,53所以有所以有an+1- =-2(an- ),故数列故数列an- 是以是以a1- =1为首项，为首项，-2为为公比的等比数列公比的等比数列.则则an- =1(-2)n-1，即，即an= +(-2)n-1,所以所以Sn=a1+a2+an= +(-2)0+ +(-2)1+ +(-2)n-1= n+= n- (-2)n+ .535353535353535353531 1 ( 2) 1 ( 2)n 531313 待定系数法是从数列递推式特待定系数法是从数列递推式特征规范、构造一个新数列，变换形式征规范、构造一个新数列，变换形式如下：如下：(1)an+1=Aan+B(A、B为常数为常数)型，

15、型，可化为可化为an + 1+=A(an+)的形式；的形式；(2)an + 1= A an+ B cn型 ， 可 化 为型 ， 可 化 为an+1+cn+1=A(an+cn)的形式；的形式；(3)an+2=Aan+1+Ban型，可转化为型，可转化为an+2+an+1=A(an+1+an)的形式；的形式；(4)an + 1=Aan+Bn+C型，可化为型，可化为an+1+1(n+1)+2=A(an+1n+2)的形式的形式（其中（其中A、B、C均为常数均为常数). 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn.已知已知ban-2n=(b-1)Sn(nN*). (1)证明：当证明：当b=2时，数列时，数

16、列an-n2n-1是是等比数列；等比数列； (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式. 由题设，得由题设，得a1=2.又又ban-2n=(b-1)Sn,则则ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,两式相减，得两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即即an+1=ban+2n. (*) (1)证明：当证明：当b=2时，由时，由(*)式得式得an+1=2an+2n,于于是有是有an+1-(n+1)2n=2(an-n2n-1),且且a1-20=10，所以所以an-n2n-1是以是以1为首项，为首项，2为公比的等为公比的等比数列比数列.(2)当当b=2时，由时，由(1)知知,a

17、n=(n+1)2n-1.当当b2时，时，由由(*)式知式知, = + , 所以所以 + = ( + )(nN*)， 所以所以 + 是以是以 + =1+ = 为首项，为首项， 为公比的等比数列为公比的等比数列. 所以所以 + = ( )n-1, 即即an= (2b-2)bn-1-2n(nN*).112nna2b2nna12112nna12b2b2nna12b2nna12b12a12b12b12bb2b2nna12b12bb2b12b 对于型如递推式对于型如递推式an+1=pan+f(n) (p1,pR,f(n)为指数式）为指数式）,常常转化为常常转化为 =p +q，即，即An+1=pAn+q，然

18、后，然后代入复合等比数列代入复合等比数列an+1+r=p(an+r)，其中，其中r= ，再求通项，再求通项.1(1)naf n( )naf n1qp1.一是要熟练掌握常见的递推数列一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等差、等比数列，二是会将问题转化为等差、等比数列，而转化的方法在于合理构造，常用的手而转化的方法在于合理构造，常用的手段有：段有：(1)构造构造an+x,x为常数；为常数；(2)构造构造an+1-xan，x为常数；为常数；(3)构造构造 ;(4)构造构造 ;(5)构造构造an+f(n).2.不等式与递

19、推关系综合问题，方不等式与递推关系综合问题，方法与相等关系中类似，常有放缩法化法与相等关系中类似，常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型，从而归为等比数列求和或易求和型，从而证得不等式证得不等式.1nanna学例1 (2009重庆卷重庆卷)设设a1=2，an+1= ，bn=| |，nN*，则数列，则数列bn的通项的通项bn= .2n+121na 21nnaa 由题意得由题意得bn+1= = =2 =2bn.且且b1=4，所以数列，所以数列bn是首项为是首项为4，公比为，公比为2的等的等比数列，则比数列，则bn=42n-1=2n+1.1121nnaa221211nnaa21nnaa学例2 (20

20、09全国卷全国卷)在数列在数列an中，中，a1=1,an+1=（1+ )an+ . (1)设设bn= ，求数列，求数列bn的通项公式；的通项公式； (2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.12nn1nnan (1)由已知得由已知得b1=a1=1,且且 = + ,即即bn+1=bn+ .从而从而b2=b1+ ,b3=b2+ , bn=bn-1+ (n2),于是于是bn=b1+ + + =2- (n2).又又b1=1,故数列故数列bn的通项公式为的通项公式为bn=2- (nN*).12n11nannan12n12212112n12212112n112n112n(2)由由(1)知知an=n(2- )=2n- .令令Tn= ,则则2Tn= .于是于是Tn=2Tn-Tn= - =4- .又又 =n(n+1)，所以所以Sn=n(n+1)+ -4.112n12nn112nkkk212nkkk11012nkk12nn122nn1(2 )nkk122nn本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来