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1、平面向量数量积平面向量数量积dinggao 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a 的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1)|a|=|a|(2)当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同；方向相同；当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或a=0时时,a=0复习回顾：数乘向量定义及运算律复习回顾：数乘向量定义及运算律向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当当0 90时时ab为正；为正；当当9018
2、0时时ab为负。为负。当当=90时时ab为零。为零。设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OABabB1解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例2 2、（、（1 1）已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求abab。学点二：数量积公式的应用学点二：数量积公式的应用-求数量积、夹角及向量的模求数量积、夹角及向量的模练习OAB|b|cosabB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一
3、向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注：则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac
4、向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.练习练习：构造矩形构造矩形学点四：向量数量积的综合应用学点四：向量数量积的综合应用例例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直。、求证：菱形的两条对角线互相垂直。例例5、(3)当当k为何值时为何值时求：求：与与垂直垂直练习：练习：解：解：总结：总结：小结：小结：l1.l2.可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影小结小结4.向量数量积的运算律向量数量积的运算律5.5.类似于多项式的乘法运算类似于多项式的乘法运算(3).a b a b=0(1).aa=|a|2或(2).cos =6.6.主要解决的问题主要解决的问题垂直问题垂直问题夹角的计算问题夹角的计算问题长度的计算问题长度的计算问题作业：作业：结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！25