空间解析几何简介.ppt

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1、空间解析几何简介空间解析几何简介四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介1.空间直角坐标系空间直角坐标系通常规定通常规定x轴，轴，y轴，轴，z轴的正向要遵循轴的正向要遵循右手法则右手法则.横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴坐标原点坐标原点上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院面面面面面面空间直角坐标系共有八个空间直角坐标系共有八个卦限卦限.7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标

2、面上的点坐标面上的点7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院空间两点的距离公式空间两点的距离公式长方体的对角线长的平方等于三条棱长方体的对角线长的平方等于三条棱长的平方和，长的平方和，则：则：所以点所以点间的距离为间的距离为由图可知，该长方体的各棱长分别为：由图可知，该长方体的各棱长分别为：7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.空间曲面与方程空间曲面与方程如果曲面如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,7(

3、补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介定义定义不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程则称方程F(x,y,z)=0为为曲面曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S称为方程称为方程F(x,y,z)=0的的图图形形.上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例1 求与两定点求与两定点M(-1,0,2),N(3,1,1)距离相等的点的轨迹方程距离相等的点的轨迹方程.解解 设动点坐标为设动点坐标为P(x,y,z),空间平面的方程为：空间平面的方程为：其中其中A、B

4、、C、D都是常数，且都是常数，且A、B、C不全为不全为0.四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例2 作作z=d（d为常数）的图形为常数）的图形.解解 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 求球心在点求球心在点,半径为半径为R的球面方程的球面方程.解解 设设P(x,y,z)是球面上任意一点，是球面上任意一点，则根据两点间的距离公式，则根据两点间的距离公式，得整理，得特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利

5、职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例4 解解 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页例例5解解 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页如果方程如果方程 是三元二次方程，则它的图是三元二次方程，则它的图形是曲面，称为形是曲面，称为二次曲面二次曲面.（1）对称轴为）对称轴为z轴，底面半径为轴，底面半径为R的圆柱的方程为的圆柱的方程为对称轴为对称轴为y轴，底面半径为轴，底面半径为R的圆柱的方程为的圆柱的方程为

6、对称轴为对称轴为x轴，底面半径为轴，底面半径为R的圆柱的方程为的圆柱的方程为四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页（2）球心在原点，半径为）球心在原点，半径为R的上半球面的方程为的上半球面的方程为（3）圆锥曲面圆锥曲面四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页（4）椭球面椭球面四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介(5)抛物面抛物面 zxyoxyzo上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术

7、学院特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院（与与 同号）同号）（6）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xyzo7(补充补充)空间解析几何简介空间解析几何简介上页上页下页下页首页首页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院第七章 多元函数微积分v7.1 多元函数v7.2 偏导数v

8、7.3 全微分v7.4 复合函数的偏导数v7.5 偏导数的几何应用v7.6 多元函数的极值v7.7 二重积分v7.8 二重积分的应用下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数1.多元函数的概念多元函数的概念2.二元函数的极限二元函数的极限3.二元函数的连续性二元函数的连续性首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数1.多元函数的概念多元函数的概念 圆锥的体积和它的底半径圆锥的体积和它的底半径R，高，高H之间具有关系之间具有关系 例例1对于对于R、H在一定范围内取一对确定的值，在一定范围内取一对确定的值，V都有都有惟一确

9、定的值与之对应惟一确定的值与之对应.例例2 设设R是电阻是电阻R1,R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系间具有关系对于对于R1,R2在一定范围内取一对确定的值，在一定范围内取一对确定的值，R都有惟都有惟一确定的值与之对应一确定的值与之对应.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定义定义1设在某一变化过程中有三个变量设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于，如果对于变量变量x，y在其变化范围内所取的每一对数值在其变化范围内所取的每一对数值，变量变量z按照某一按照某一法则法则f，都有惟一确定的数值与之对应，则称，都有惟

10、一确定的数值与之对应，则称z为为x，y的二元的二元函数，记作函数，记作z=f(x，y).自变量自变量x，y的取值范围叫做函数的定义域，通常记为的取值范围叫做函数的定义域，通常记为D.二元及二元以上的函数统称为二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数.7.1 多元函数多元函数因变量因变量自变量自变量首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数 所谓所谓平面区域平面区域，是指整个，是指整个x,y 平面或平面或x,y平面上由平面上由几条曲线所围成的部分几条曲线所围成的部分.围成平面区域的曲线称为区域围成平面区域的曲线称为区域的的边界边界，包括边界在内的区

11、域称为，包括边界在内的区域称为闭区域闭区域，不包含边界，不包含边界在内的区域称为在内的区域称为开区域开区域.如果一个区域可以包含在一个如果一个区域可以包含在一个以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为有界有界区域区域，否则称为，否则称为无界区域无界区域.对于自变量对于自变量x,y 的一组值，对应着的一组值，对应着xoy面上的一点面上的一点P（x,y）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函数，即数，即Z=f（P）.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 求下列函数的定义域并画出

12、图形：求下列函数的定义域并画出图形：.解解（1）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是：）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是：7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院（2）要使）要使Z有意义，必须有意义，必须即即 所以，所求函数的定义域是所以，所求函数的定义域是7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.1 多元函数多元函数二元函数二元函数z=f(x,y)的的图形图形 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4作二元函数作二元函数的的图图形形.解解由由 两边平方，得两

13、边平方，得 整理，得整理，得7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.二元函数的极限二元函数的极限定义定义2设函数设函数z=f(x,y)在点在点 的某个领域内有定义的某个领域内有定义(点点P0可以除外可以除外),如果当点如果当点P(x,y)沿任意路经趋于点沿任意路经趋于点 f（x,y）趋向于一个确定的常数）趋向于一个确定的常数A，则称，则称A是函数是函数 当当P（x,y）趋于）趋于 时的时的极限极限，记作，记作 上述二元函数的极限又叫做上述二元函数的极限又叫做二重极限二重极限.7.1 多元函数多元函数邻域邻域:首页首页上页上页下页下页四川水利职

14、业技术学院四川水利职业技术学院例例5求极限求极限 解解2.例例6求极限求极限 解解7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例7讨论极限讨论极限 是否存在？是否存在？解解因为当因为当P（x,y）沿直线）沿直线y=0趋于点（趋于点（0，0）时，有）时，有 0 而当点而当点P（x,y）沿直线）沿直线y=x 趋于点（趋于点（0，0）时，有）时，有 所以，极限所以，极限 不存在不存在.7.1 多元函数多元函数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院3.二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3 设函数设函数f（x,y）在）在 的某

15、个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，如果极限如果极限 存在，且存在，且 则称二元函数则称二元函数f（x,y）在点）在点 处连续处连续.如果函数如果函数f（x,y）在区域在区域D内内 的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称f（x,y）在区域）在区域D内连续内连续.7.1 多元函数多元函数 二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的区域）内是连续的区域）内是连续的.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例8 求下列极限求下列极限 解解（1）（2）（1）（2）7.1 多元函数多元函数函数函数f（x,y）不连续的点称为函数的）

16、不连续的点称为函数的间断点间断点.(0,0)首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院1.偏导数的概念偏导数的概念7.2 偏导数偏导数2.高阶偏导数高阶偏导数 3.偏导数的经济意义偏导数的经济意义首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院1.偏导数的概念偏导数的概念定义定义 设函数设函数Z=f（x，y）在点）在点(x0,y0)的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，当自变量当自变量y保持定值保持定值y0，而自变量，而自变量x在在 处有增量处有增量x时，时，相应的函数有增量相应的函数有增量 如果极限如果极限 存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数

17、Z=f（x，y）在点）在点 处处 对对x的的偏导数偏导数，记作，记作 7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院即即 类似地类似地,如果极限如果极限 存在存在,那么称此那么称此极限值为函数极限值为函数Z=f（x，y）在点）在点 处处对对y的偏导数的偏导数，记作，记作 即即7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.2 偏导数偏导数如果函数如果函数Z=f（x，y）在区域）在区域D内每一点内每一点(x，y)处对处对x的的 偏导数都存在，这个偏导数仍是偏导数都存在，这个偏导数仍是x，y的函数，的函数，则称这个函数为

18、则称这个函数为Z=f（x，y）对自变量）对自变量x的的偏导函数偏导函数，记作，记作 即即类似地，类似地，z=f（x,y）对自变量）对自变量y的偏导函数记作的偏导函数记作即即首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1求求 在在(1,2)的偏导数的偏导数.解解7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 设设 求求 解解例例3 求三元函数求三元函数 u=2xy+3yz+5zx 的偏导数的偏导数.解解7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院在点在点M 处的切线关于处的切线关于x轴和轴

19、和y轴的斜率轴的斜率.根据一元函数导数的几何意义知，偏导数根据一元函数导数的几何意义知，偏导数 和和 在几何上，分别表示曲线在几何上，分别表示曲线7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.高阶偏导数高阶偏导数设函数设函数z=f（x，y）在区域）在区域D内具有偏导数内具有偏导数则它们仍然是则它们仍然是x，y的函数的函数.如果这两个偏导函数对如果这两个偏导函数对x和对和对y的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是f（x，y）的）的二阶偏导数二阶偏导数.7.2 偏导数偏导数（1）两次都对）两次都对x求偏导数，即求偏导数，即 ，

20、记作，记作首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.2 偏导数偏导数（2）第一次对）第一次对x，第二次对，第二次对y求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作（3）第一次对）第一次对x，第二次对，第二次对y求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作（4）两次都对）两次都对y求偏导数，即求偏导数，即 ，记作，记作二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.二阶混合偏导数二阶混合偏导数 二阶混合偏导数二阶混合偏导数 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4设设 求求 解解7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四

21、川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理如果函数如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数）的两个二阶混合偏导数 及及 在区域在区域D内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等必相等.定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们与求导次定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们与求导次序无关序无关.类似地，对于二阶以上的高阶混合偏导数，在混合偏类似地，对于二阶以上的高阶混合偏导数，在混合偏导数连续的条件下，也与求导次序无关导数连续的条件下，也与求导次序无关.7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5

22、设设 求求 解解7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例6 验证函数验证函数 满足方程：满足方程：证证因此因此 7.2 偏导数偏导数拉普拉斯方程拉普拉斯方程 四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 3.偏导数的经济意义偏导数的经济意义 当价格当价格P2不变而不变而P1发生变化时，需求量发生变化时，需求量Q1和和Q2将随将随P1变化而变化，需求量变化而变化，需求量Q1和和Q2对价格的弹性分别为对价格的弹性分别为11称为甲商品需求量称为甲商品需求量Q1对自身价格对自身价格P1的的直接价格偏弹性直接价格偏弹性，21称为甲商品需求量称为甲商品需求量Q2

23、对自身价格对自身价格P1的的交叉价格偏弹性交叉价格偏弹性.类似地，可定义并解释类似地，可定义并解释7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例7 已知某商品需求量已知某商品需求量Q1是该商品价格是该商品价格P1与另一相关商品价格与另一相关商品价格P2 的函数，且的函数，且 Q1=120-2P1+15P2，求当求当 时，需求的直接价格偏弹性时，需求的直接价格偏弹性11及交叉价格及交叉价格偏弹性偏弹性12.解解 当当 时，时，又又 7.2 偏导数偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.3 全微分全微分1.全微分的概念全微

24、分的概念2.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.3 全微分全微分1.全微分的概念全微分的概念f（x+x）f（x）f（x）x.对对x的的偏增量偏增量对对x的的偏微分偏微分对对y的的偏增量偏增量对对y的的偏微分偏微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 设函数设函数z=f（x，y）在点（）在点（x，y）的某个领域内有义，）的某个领域内有义，点（点（x+x，y+y）在该邻域内，如果函数）在该邻域内，如果函数z=f（x，y）在点）在点（x，y）的全增量）的全增量定义定义z=f（x+x，y+y）f

25、（x，y）可以表示为可以表示为 z=Ax+By+其中其中A、B是是x，y的函数，与的函数，与x，y无关，无关，是一个比是一个比 高阶的无穷小，则称高阶的无穷小，则称A x+B y是二元函数是二元函数Z=f（x,y）在点（）在点（x,y）处的全微分，记作）处的全微分，记作dz，即，即 7.3 全微分全微分dz=Ax+By.这时，也称二元函数这时，也称二元函数Z=f（x,y）在点（）在点（x，y）处）处可微可微.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 如果函数如果函数z=f（x，y）在点（）在点（x，y）处可微分，则）处可微分，则它在点（它在点（x，y）处连续）处连续.定

26、理定理17.3 全微分全微分证证 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理2（可微的必要条件）如果函数（可微的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点（）在点（x，y）可微，可微，则它在点（则它在点（x，y）处的两个偏导数）处的两个偏导数 必存在，且必存在，且 7.3 全微分全微分证证 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院（可微的充分条件）（可微的充分条件）如果函数如果函数 在点在点 处的两个偏导数处的两个偏导数 都连续，则函数在该点可微都连续，则函数在该点可微.例例1 求函数求函数 的全微分的全微分.解解所以 dz=2xydx+x2d

27、y.定理定理 37.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 求函数 的全微分.解解7.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 求函数 在点(2,1)处的全微分.解解7.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用7.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4 当正圆锥体变形时，它的底面半径由30cm增大到30.1cm，高由60cm减少到59.5cm，求正圆锥体体积变化的

28、近似值.解解将r=30，r=0.1，h=60，h=0.5代入上式，得 7.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5 计算（0.99）2.02的近似值.解解 设 f(x,y)=xy,取 x=0.01,y=2,y=0.02,则 f（1，2）=1,7.3 全微分全微分首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数1.复合函数的偏导数复合函数的偏导数2.隐函数的偏导数隐函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数1.复合函数的偏

29、导数复合函数的偏导数设函数设函数 是变量是变量u、v的函数的函数,而而 又是又是x,y的函数，则的函数，则 是是x,y的复合函数的复合函数.中间变量中间变量函数结构图函数结构图 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数定理定理如果函数如果函数z=f(u，v)关于关于u，v有连续的一阶偏导数，有连续的一阶偏导数，又函数又函数u=u(x，y),v=v(x，y)在点在点(x，y)有偏导数有偏导数,则复合函数则复合函数 z=f(u(x，y)，v(x，y)在点在点(x，y)的偏导数存在，且的偏导数存在，且链式法则链式法则 首页首页上页上页下

30、页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1解解设设z=eucosv，而，而u=x+2y，v=x2-y2，求，求 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数 二元复合函数求导的链式法则对三元及三元以上的二元复合函数求导的链式法则对三元及三元以上的复合函数也是成立的复合函数也是成立的.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院下面看链式法则的两种特殊情况下面看链式法则的两种特殊情况.（1）（2）全导数全导数 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下

31、页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 设设z=ln(3u+2v)，u=x2，v=cosx，求，求 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数解解首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3 设设函数函数z=f(u，v)对对u，v具有具有连续连续偏偏导导数，求数，求z=f(xy，x2+y2)的偏导数的偏导数 及及 解解7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4 设设,求求 解解7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复

32、合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.隐函数的偏导数隐函数的偏导数7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 的导数的导数 解解 设设 于是于是 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例6 设设 x3+y3+z3=3xyz.求求 解解设设 F(x,y,

33、z)=x3+y3+z3-3xyz,则则 于是于是7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例7求求 解解设设 7.4 复合函数的偏导数复合函数的偏导数首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用1.空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用1.空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面 空间曲线在一点处的割线的极限位置定义

34、为曲线在空间曲线在一点处的割线的极限位置定义为曲线在该点处的切线该点处的切线.在空间，过切点且与切线垂直的法线所构成的平在空间，过切点且与切线垂直的法线所构成的平面，称为空间曲线的面，称为空间曲线的法平面法平面.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院曲线曲线 在点在点 处的切线方程为处的切线方程为 切向量切向量 在点在点 处的法平面方程为处的法平面方程为 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1

35、 求曲线求曲线 在点在点 处的切线方程和处的切线方程和法平面方程法平面方程.解解因为点因为点 对应的参数值为对应的参数值为，所以，所以 所求切线方程为所求切线方程为 法平面方程为法平面方程为即即 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2求曲线求曲线 在点在点 处的切线方程和处的切线方程和法平面方程法平面方程.7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用解解所求切线方程为所求切线方程为 法平面方程为法平面方程为即即首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 7.5 偏导

36、数的几何应用偏导数的几何应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院称为曲面称为曲面S在点在点 处的处的切平面切平面.7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用切平面的法向量为切平面的法向量为n，切平面的方程为，切平面的方程为 过过 点的所有切线都在同一平面上，这个平面点的所有切线都在同一平面上，这个平面过点过点 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线法线.法线法线方程为方程为 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1求球面求球面 在点在点 处的切平面方程及处的切平面方程及法线方程法线方程.解解 设设，则

37、，则 所求切平面的方程为所求切平面的方程为 即即法线方程为法线方程为 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例2 求旋转抛物面求旋转抛物面 在点在点 处的切平面处的切平面方程及法线方程方程及法线方程.解解 7.5 偏导数的几何应用偏导数的几何应用所求切平面的方程为所求切平面的方程为 即即法线方程为法线方程为首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值1.极值及其求法极值及其求法2.最大值与最小值最大值与最小值3.条件极值条件极值,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法首页首页上页上

38、页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值1.极值及其求法极值及其求法定义定义 设函数数设函数数z=f(x，y)在点在点P0(x0，y0)的某一领域内有的某一领域内有定义定义.如果对该邻域内任一异于如果对该邻域内任一异于P0的点的点P(x，y),都有都有 f(x，y)f(x0，y0)则称函数则称函数z=f(x，y)在点在点P0(x0，y0)处有处有极大值极大值 f(x0，y0)；如果都有如果都有 f(x，y)f(x0，y0)则称函数则称函数z=f(x,y)在点在点P0(x0，y0)处有处有极小值极小值 f(x0，y0).函数的极大值和极小值统称为函数

39、的极大值和极小值统称为极值极值，使得函数取极值的，使得函数取极值的点点 称为称为极值点极值点.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值在点在点(0,0)处函数取得处函数取得极大值极大值1.在点在点(0,0)处取得极处取得极小值小值0.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理1(极值的必要条件极值的必要条件)设函数设函数z=f(x,y)在点在点都存在，则必有都存在，则必有 fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0.满足方程组满足方程组 的点的点(x0,y0)，称，称为为函数函数z=f(x,y)的的驻

40、驻点点.P0(x0,y0)7.6 多元函数的极值多元函数的极值处的两个偏导数处的两个偏导数 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院点点(0,0)是函数是函数 的驻点的驻点,不是函数的极值点不是函数的极值点.7.6 多元函数的极值多元函数的极值 只要函数只要函数z=f(x,y)的两个偏导数存在，那么，它的极的两个偏导数存在，那么，它的极值点一定是驻点值点一定是驻点.但是函数的驻点不一定是极值点但是函数的驻点不一定是极值点.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院定理定理2(极值的充分条件极值的充分条件)设函数设函数z=f(x,y)在点在点 的某一

41、领域内有二阶连续偏导数的某一领域内有二阶连续偏导数,且且 即即f x(x0，y0)=0，f y(x0，y0)=0.记记 是函数的驻点，是函数的驻点，f xx(x0，y0)=A，f xy(x0，y0)=B，f yy(x0，y0)=C，（1）时，函数时，函数z=f(x,y)在点在点 处有处有 极值极值,且当且当A0时时,有极大值有极大值;当当A0时时,有极小值；有极小值；（2）时时,函数函数z=f(x,y)在点在点 处没有处没有极值极值;（3）时时,函数函数z=f(x,y)在点在点 处可能处可能 有极值有极值,也可能没有极值也可能没有极值.7.6 多元函数的极值多元函数的极值首页首页上页上页下页下

42、页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值求具有二阶连续偏导数的函数求具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)极值的一般方法：极值的一般方法：（1）求导数：）求导数：（2）找驻点：）找驻点：（3）判极值：将驻点代入二阶导数中）判极值：将驻点代入二阶导数中,依次求出依次求出A,B,C,并计并计算出算出 ,判定驻点是否为极值点判定驻点是否为极值点,如果是极值点如果是极值点,则则代入原函数中代入原函数中,求出极值求出极值.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解因此，函数有两个驻点因此，函数有两个驻点

43、(0,0)及及(2,2).在点在点(0,0)处处代入原函数，算得极大值为代入原函数，算得极大值为f(0,0)=3.7.6 多元函数的极值多元函数的极值首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院在在(2,2)处处,所以所以,函数在点函数在点(2,2)处没有极值处没有极值.7.6 多元函数的极值多元函数的极值首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院2.最大值与最小值最大值与最小值例例2 要做一个容积为要做一个容积为32 的无盖长方体箱子的无盖长方体箱子,问长、宽、问长、宽、高各为多少时高各为多少时,才能使所用材料最省？才能使所用材料最省？解解设长方体箱

44、子的长、宽、高分别为设长方体箱子的长、宽、高分别为x(cm)，y(cm)，Z(cm)，表面积为，表面积为A.由上述两式消去由上述两式消去z，得，得 7.6 多元函数的极值多元函数的极值首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院解之解之,得驻点为得驻点为(4,4).由问题的实际意义知由问题的实际意义知,面积面积A在区域在区域 内一定取得最小值内一定取得最小值,此时此时,箱子的高为箱子的高为2.7.6 多元函数的极值多元函数的极值首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例3设某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为设某企业生产甲、乙两种产品，其销售

45、单价分别为10元元和和13元，生产元，生产x万件甲产品与万件甲产品与y万件乙产品的总成本是万件乙产品的总成本是 问当两种产品的产量各为多少时利润最大问当两种产品的产量各为多少时利润最大,最大利润是多少最大利润是多少?解解求得函数的驻点为求得函数的驻点为(1,6).L(1,6)=44(万件万件).7.6 多元函数的极值多元函数的极值最大利润为最大利润为 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院3.条件极值条件极值,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法对函数的自变量附加约束条件的极值问题对函数的自变量附加约束条件的极值问题,称为称为条件极值条件极值.求函数求函数z=f(x,y)在约

46、束条件在约束条件(x,y)=0下的极值下的极值.（1）构造拉格朗日函数）构造拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数 7.6 多元函数的极值多元函数的极值用用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解的步骤如下求解的步骤如下:拉格朗日乘数拉格朗日乘数 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院（2）求驻点）求驻点解之，即得原函数解之，即得原函数f(x,y)满足约束条件的驻点满足约束条件的驻点(x0,y0)和乘数和乘数 的值的值.7.6 多元函数的极值多元函数的极值（3）判极值）判极值一般可根据问题的实际意义，判定一般可根据问题的实际意义，判定 是否为极值点是否为极值点.首页首页上页上页

47、下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.6 多元函数的极值多元函数的极值上述方法还可推广到多个自变量和多个约束条件的情形上述方法还可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.例如例如下的极值下的极值.首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院例例4 求表面求表面积为积为2a2(a0)而体而体积为积为最大的最大的长长方体的体方体的体积积.解解 设此长方体的长、宽、高分别为设此长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则问题化为在条件则问题化为在条件 下下,求函数求函数的最大值的最大值.7.6 多元函数的极值多元函数的极值最大体积为最大体积为 首页首页上页上页下页下页四川水

48、利职业技术学院四川水利职业技术学院例例5 某工厂生产两种商品的日产量分别为某工厂生产两种商品的日产量分别为x和和y(单位单位:件件),总成本函数总成本函数(单位单位:元元)如果商品的限额为如果商品的限额为，试求最小成本，试求最小成本.解解7.6 多元函数的极值多元函数的极值最小成本最小成本首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院1.二重积分的概念与简单性质二重积分的概念与简单性质7.7 二重积分二重积分2.在直角坐标系下的二重积分的计算在直角坐标系下的二重积分的计算3.在极坐标下的二重积分的计算在极坐标下的二重积分的计算首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水

49、利职业技术学院1.二重积分的概念与简单性质二重积分的概念与简单性质7.7 二重积分二重积分例例1 求求曲顶柱体曲顶柱体的体积的体积.第第i个小曲顶柱体的体积近似值个小曲顶柱体的体积近似值整个曲顶柱体体积的近似值整个曲顶柱体体积的近似值 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院(i=1,2,n)表示第表示第i个小区域个小区域,也表示它的面也表示它的面积积.其中其中 设设f(x,y)是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域D上的有界函数上的有界函数,将闭区将闭区域域D任意地分割成任意地分割成n个小区域个小区域 7.7 二重积分二重积分定义定义在每个小区域在每个小区域 i,上任取

50、一点上任取一点,作和式作和式 如果当各小区域的直径中的最大值如果当各小区域的直径中的最大值 趋于零时趋于零时,上述和式的极限上述和式的极限存在存在,则称此极限值为函数则称此极限值为函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上的上的二重积分二重积分，记作记作 首页首页上页上页下页下页四川水利职业技术学院四川水利职业技术学院7.7 二重积分二重积分即即 积分和式积分和式 积分区域积分区域 面积元素面积元素 积分变量积分变量 被积函数被积函数 被积表达式被积表达式 性质性质1 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和代数和.首页首页上页上页下页下页四