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1、空间直角坐标系空间直角坐标系 这一章，我们为学习多元函数微积分学这一章，我们为学习多元函数微积分学作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何，它是平面解究空间图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时也是一种很重要的数学工具。也是一种很重要的数学
2、工具。第1页/共125页 本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类基本图类平面、直线，常用的曲面和曲线。平面、直线，常用的曲面和曲线。重点重点向量及其坐标表示向量及其坐标表示向量的数量积，向量积向
3、量的数量积，向量积直线与平面方程直线与平面方程第2页/共125页难点难点空间图形的想象能力和描绘能力空间图形的想象能力和描绘能力基本要求基本要求弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的 距离距离掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量代数的基本知识掌握向量代数的基本知识熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件 并能正确运用。并能正确运用。第3页/共125页掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两平面是否平行、垂直，会求两平会判断两平面是否平行、垂直，会求两
4、平 面的夹角及点到平面的距离面的夹角及点到平面的距离掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面 平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和 平面的夹角平面的夹角掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面 和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用准方程，会用“截痕法截痕法”画出其简图画出其简图第4页/共125页横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系
5、 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标第5页/共125页面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限第6页/共125页空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点第7页/共125页二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离第8页/共125页空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为第9页/共125页解解原结论成立原结论成立.第10页/共125页解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为第11页/共125页空间直角坐标系空
6、间直角坐标系 空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）三、小结三、小结第12页/共125页思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？第13页/共125页思考题解答思考题解答A:;B:;C:;D:;第14页/共125页曲面及其方程曲面及其方程水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念第15页/共125
7、页以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为第16页/共125页解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为第17页/共125页根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解第18页/共125页例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底解解第19页/共125页以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲
8、面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第20页/共125页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴链接链接31第21页/共125页旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入第22页/共125页将将 代入代入得方程得方程 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与而将曲线方
9、程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。第三个变量的平方和的正负平方根。第23页/共125页链接链接43定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线动直线L 叫柱叫柱面的面的母线母线.第24页/共125页柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面第25页/共125页从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱
10、面抛物柱面 /轴轴第26页/共125页曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).四、小结四、小结第27页/共125页思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？第28页/共125页思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程第29页/共125页第30页/共125页第31页/共125页第32页/共125页第33页/共125页第34页/共125页第35页/共125页第
11、36页/共125页第37页/共125页第38页/共125页第39页/共125页第40页/共125页返回22第41页/共125页第42页/共125页第43页/共125页第44页/共125页第45页/共125页第46页/共125页第47页/共125页第48页/共125页第49页/共125页第50页/共125页第51页/共125页第52页/共125页链接25第53页/共125页空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个
12、方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程第54页/共125页例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.第55页/共125页例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.第56页/共125页空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程第57页/共125页 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程
13、取时间t为参数，解解第58页/共125页螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度螺距螺距第59页/共125页消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第60页/共125页如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面第
14、61页/共125页类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线投影曲线,面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线第62页/共125页例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解（1）消去变量z后得在在 面上的投影为面上的投影为第63页/共125页所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，第64页/共125页截线方程为截线方程为解解如图如图,第65页/共125页第66页/共125页补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立
15、体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面第67页/共125页空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影第68页/共125页思考题思考题第69页/共125页思考题解答思考题解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为第70页/共125页平面及其方程平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、的问题。介绍平面和直线的各种方程及
16、线面关系、线线关系。线线关系。确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。将会看到许多其它条件都可转化为此。先介绍平面的点法式方程先介绍平面的点法式方程第71页/共125页 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量已知已知设平
17、面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程第72页/共125页平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量已知点已知点若取平面的另一法向量若取平面的另一法向量此时由于此时由于平面方程为平面方程为 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形第73页/共125页解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得第74页/共125页一般地一般地过不共线的三点过不共线的三点的平面的法向量的平面的法向量平面方程为平面
18、方程为三点式方程三点式方程第75页/共125页取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解第76页/共125页由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面的一般方程第77页/共125页平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论 情形.第78页/共125页设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解第79页/共125页设
19、平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解第80页/共125页将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程第81页/共125页设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解解第82页/共125页化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为第83页/共125页例例6求过点求过点且平行于且平行于z 轴的平面方程轴的平面方程解一解一用点法式用点法式设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为则则由点法式得，所求平面的方程为由点法式得，所求平面的方程为第84页/共125页即即解二解二 用一般式用一般式因平面平行于
20、因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为轴，故可设平面方程为在平面上在平面上解得解得所求平面方程为所求平面方程为即即第85页/共125页由以上几例可见，求平面方程的基本思路和由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：基本步骤：两定两定定点，定向定点，定向定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.三、两平面的夹角三、两平面的夹角第86页/共125页按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/第87页/共125页例例7 7 研究以下各组里两平面的位置
21、关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角第88页/共125页两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.第89页/共125页例例8一平面过点一平面过点且垂直于且垂直于平面平面求其方程求其方程解解设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为在所求平面上在所求平面上又所求平面与已知平面垂直又所求平面与已知平面垂直解得解得代入点法式方程并整理得代入点法式方程并整理得第90页/共125页解解第91页/共125页第92页/共125页点到平面距离公式点到平面距离公式第93页/共125页平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特
22、殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结第94页/共125页思考题思考题第95页/共125页思考题解答思考题解答第96页/共125页直线及其方程直线及其方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第97页/共125页方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方
23、向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数二、空间直线的对称式方程与参数方程方程第98页/共125页直线的对称式方程直线的对称式方程令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程第99页/共125页例例1求经过求经过两点的直线方程两点的直线方程解解因为直线过因为直线过两点两点因此可取因此可取作为直线的方向向量作为直线的方向向量由点向式即得所求直线的方程为由点向式即得所求直线的方程为直线的两点式方程直线的两点式方程第100页/共125页例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解
24、一解一用点向式用点向式在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标第101页/共125页因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程解二解二用两点式用两点式已求出一点已求出一点再求出一点再求出一点第102页/共125页令令得得解得解得点坐标点坐标所求直线方程为所求直线方程为参数方程参数方程解三解三由由第103页/共125页两式相加得两式相加得代入方程组得代入方程组得即即称为称为投影方程投影方程实际上这就是所求直线的参数方程实际上这就是所求直线的参数方程对称式方程对称式方程第104页/共125页解解所以交点为所以交点为取取所
25、求直线方程由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定两定定点、定向定点、定向第105页/共125页例例4求过点求过点A(1,2,2),且通过直线且通过直线 L的平面方程的平面方程解解设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为由题设知点由题设知点为直线为直线L上一点上一点其方向向量其方向向量由于所求平面通过点由于所求平面通过点A及及L第106页/共125页由点法式得所求平面方程为由点法式得所求平面方程为即即例例5求直线求直线与平面与平面的交点的交点第107页/共125页解解所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为代入平面方程，得代入平面方程，得解得解得将将
26、代入直线的参数方程，即得代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为所求交点的坐标为即交点为即交点为第108页/共125页定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角第109页/共125页两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，第110页/共125页解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程第111页/共125页解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N,令令第11
27、2页/共125页代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为第113页/共125页定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角第114页/共125页直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/第115页/共125页解解为所求夹角为所求夹角第116页/共125页五、平面束五、平面束设有直线设有直线考虑考虑其中其中因因不成比例不成比例故故不全为不全为 0第117页/共125页从而从
28、而表示一个平面表示一个平面若一点若一点在在上上满足满足 和和 的方程的方程则点则点的坐标必同时的坐标必同时则点则点的坐标也满足的坐标也满足因而因而表示过表示过 的平面的平面对于对于 的不同值的不同值表示过表示过 的所有平面的所有平面过过 的平面束的平面束第118页/共125页一般在具体应用时，常取一般在具体应用时，常取而考虑缺而考虑缺 或或 的平面束的平面束例例9求直线求直线在平面在平面上的投影直线的方程上的投影直线的方程分析分析过所给直线作一平面与已知平面垂直，过所给直线作一平面与已知平面垂直，两平面的交线即位所求两平面的交线即位所求第119页/共125页解解 过所给直线的过所给直线的平面束
29、平面束方程为方程为即即这平面与已知平面垂直的条件是这平面与已知平面垂直的条件是所求平面方程为所求平面方程为第120页/共125页这就是过已知直线且垂直于平面这就是过已知直线且垂直于平面的平面的方程的平面的方程它与已知平面它与已知平面 的交线：的交线：即为所求的投影直线的方程即为所求的投影直线的方程第121页/共125页空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结六、小结第122页/共125页思考题思考题第123页/共125页思考题解答思考题解答且有且有故当故当 时结论成立时结论成立第124页/共125页感谢您的观看！第125页/共125页