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1、第二节第二节 平面向量的根本定理及坐标表示平面向量的根本定理及坐标表示根底梳理根底梳理1.平面向量根本定理及坐标表示(1)平面向量根本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数1,2,使a=1e1+2e2.其中，不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线 互相垂直 时,这种分解也称为向量a的正交分解.第一页，编辑于星期五：四点 三十六分。(3)平面向量的坐标表示一般地,对于向量a,
2、当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作 a=(x,y).假设分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,那么a=x i+yj.2.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量bba+ba-ba坐标(x1,y1)(x2,y2).第二页，编辑于星期五：四点 三十六分。(2)向量坐标的求法A(x1,y1),B(x2,y2),那么AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点 的坐标减去 始点 的坐标.(3)平面向量平行(共线)的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,那么a与b共线 a=.典例分析典例分析b题
3、型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例1】如图,在OAB中,AD与BC交于点M,设 ,以a、b为基底表示 .第三页，编辑于星期五：四点 三十六分。分析 此题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.解设OM=m a+n b(m,nR),那么AM=OM-OA=(m-1)a+n b,因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1.第四页，编辑于星期五：四点 三十六分。又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1.所以学后反思 (1)在平面向量根本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来
4、方便.(2)解决该类问题,用基底表示向量是根本方法,还应注意三角形法那么、中点坐标公式的熟练应用.第五页，编辑于星期五：四点 三十六分。举一反三举一反三1.如图所示，OADB是以向量 =a,=b为边的平行四边形，点C为对角线ABOD的交点，又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示解析 ：第六页，编辑于星期五：四点 三十六分。【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 ,求点C、D的坐标和CD的坐标.题型二题型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用的两个关系式,列方程组,求出坐标.第七页，编辑于星期五：四点 三十六分。解 设点C、D的坐标分别为(
5、x1,y1),(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为 所以有所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最根本的运算,必须熟练掌握.第八页，编辑于星期五：四点 三十六分。举一反三举一反三2.A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且且CM=3CA,CN=2CB,求求M、
6、N及及MN坐标坐标.解析：解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设设M(x,y),那么那么CM=(x+3,y+4)=(3,24),同理可求同理可求N(9,2),因此因此MN=(9,-18).第九页，编辑于星期五：四点 三十六分。题型三题型三 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【例【例3 3】平面内给定三个向量平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)(1)假设假设(a+k c)(2b-a),(a+k c
7、)(2b-a),求实数求实数k;k;(2)(2)设设d=(x,y)d=(x,y)满足满足(d-c)(a+b)(d-c)(a+b)且且|d-c|=1,|d-c|=1,求求d.d.分析分析 (1)(1)由两向量平行的条件得出关于由两向量平行的条件得出关于k k的方程的方程,从而求出实数从而求出实数k k的值的值.(2)(2)由两向量平行及由两向量平行及|d-c|=1|d-c|=1得出关于得出关于x,yx,y的两个方程的两个方程,解方程组即可得出解方程组即可得出x,yx,y的值的值,从从而求出而求出d.d.解 (1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
8、2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,第十页，编辑于星期五：四点 三十六分。(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,学后反思 (1)与平行有关的问题,一般地可考虑运用向量平行的充要条件,用待定系数法求解.第十一页，编辑于星期五：四点 三十六分。(2)向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.举一反三举一反三3.已知梯形ABCD中，则A（1，1），B(3,-2
9、),C(-3,-7),若 。求D点坐标。解析 设D点坐标（x,y),则第十二页，编辑于星期五：四点 三十六分。题型四题型四 向量的综合应用向量的综合应用【例4】(14分)已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.(x-1)+10(y-1)=0,解得x=-9,y=2,D点坐标为-9，2第十三页，编辑于星期五：四点 三十六分。分析 利用向量相等,建立点P(x,y)与向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特
10、征,从而解决问题.解 (1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).假设P在x轴上,那么2+3t=0,解得 假设P在y轴上,那么1+3t=0,解得 假设P在第二象限,那么第十四页，编辑于星期五：四点 三十六分。(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),假设四边形OABP为平行四边形,那么OA=PB,而 无解,故四边形OABP不能成为平行四边形.学后反思 (1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样很多的几何问题都可以转化为代数的运算,表达了向量的优越性
11、.(2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而方程(组)是求解的重要工具,这一方法需灵活应用.第十五页，编辑于星期五：四点 三十六分。举一反三举一反三4.如以下图如以下图,点点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求求AC和和OB交点交点P的坐的坐标标.解析解析 方法一方法一:设设P(x,y),那么那么OP=(x,y),OB=(4,4).OP,OB共线共线,4x-4y=0.又又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量且向量CP、CA共线共线,-6(x-2)+2(6-y)=0.解由解由组成的方程组组成的方程组,得得x=3,y=3,点点P的坐标为的坐标为(3,3).
12、第十六页，编辑于星期五：四点 三十六分。方法二:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),那么AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由AP,AC共线的充要条件知(4t-4)6-4t(-2)=0,解得 ，OP=(4t,4t)=(3,3)，点P的坐标为(3,3).易错警示易错警示【例】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .第十七页，编辑于星期五：四点 三十六分。错解 由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),错解分析 与AB共线有两种情况一是同向共线,一是反向共线,错解中忽略了反向共线这一情
13、况正解 与AB同向时为 与AB反向时为 第十八页，编辑于星期五：四点 三十六分。【例2】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7)，向量 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？错解分析 在证明三点共线或直线平行时，直接由 得 ABCD，这是不正确的。因为向量平行与直线平行存在一定的差异：向量平行不等于对应的直线平行，还可能出现直线的重合；而直线平行时，对应的向量平行。所以解题时应区分开这一点。正解 =（2，4），=（1，2），2241=0，又 =（2，6），=（2，4），A,B,C三点不共线，直线AB与直线CD不重合，ABCD.错解 =（1（-1），3（-1）=（2，4），=（
14、2-1，7-5）=（1，2），又2241=0，ABCD.第十九页，编辑于星期五：四点 三十六分。考点演练考点演练10.a=(1,2),b=(-3,2),假设ka+b与a-3b平行，求k的值。解析 方法一：ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数 ，使ka+b=(a-3b),(k-3,2k+2)=(10,-4),方法二：ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),(ka+b)(a-3b),(k-3)(-4)10(2k+2)=0,k=-第二十页，编辑于星期五：四点 三十六分。11.已知ABC中，A(7,8),B(3,5),C(
15、4,3),M、N是分别AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交与F，求解析 如图所示，A(7,8),B(3,5),C(4,3),=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).D是 的中点，又M、N分别为AB、AC的中点，F为AD的中点,第二十一页，编辑于星期五：四点 三十六分。12.在 ABCD中，A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM交BD于点P(1)假设 =3，5求点C的坐标;(2)当 时，求点P的轨迹解析 （1）设点C的坐标为（），又 即（）=（9，5），即点C（10，6）（2）设P(),则 ，ABCD为菱形，第二十二页，编辑于星期五：四点 三十六分。故点P的轨迹是以5，1为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.第二十三页，编辑于星期五：四点 三十六分。