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1、第二节第二节 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理基础梳理1. 平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数1,2,使a= 1e1+2e2.其中， 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线 互相垂直 时,这种分解也称为向量a的正交分解.(3)平面向量的坐标表示一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点
2、的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作 a=(x,y).若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=x i+yj.2. 平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量bba+ba-ba坐标(x1,y1)(x2,y2) . . .1212xx ,yy1212x -x ,y -y11( x , y )(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点 的坐标减去 始点 的坐标.(3)平面向量平行(共线)的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,则a与b共线 a= .典例分析
3、典例分析b11220 x yx y题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例1】如图,在OAB中, ,AD与BC交于点M,设 ,以a、b为基底表示 .11,42OCOA ODOB ,OAa OBb OM 分析 本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.解设OM=m a+n b(m,nR),则AM=OM-OA=(m-1)a+n b,因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1.b.21-aa-b21OA-ODAD 21n1-1-m又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1. 所以b,a41-OC-OBCBb,n
4、 a )41-m(OC-OMCM而,73n,71m1n4m1,2nm解得由b.73a71OM学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便.(2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.1m-4 11-4n举一反三举一反三1.如图所示，OADB是以向量 =a, =b为边的平行四边形，点C为对角线ABOD的交点，又BM= BC,CN= CD,试用a,b表示OA OB 1313,.O MO NM N 解析 ：1111,36661115.666611CN= CD= OD,3611222ON=OC
5、+ OD= OD=OA+OB =.26333BMBCBAOA OBa bOMOB BMbababCNODa bMNON 又21511.36626OMa babab BA31DAAB,31AC【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 ,求点C、D的坐标和CD的坐标.题型二题型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式,列方程组,求出坐标.解 设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为 所以有所以点C、D的坐标
6、分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.BA31DAAB,31AC0.y-2,x4y0,x2y-21,x-1-22-y1,1x22112211和解得和举一反三举一反三2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN坐标.解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(
7、6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).M(0,20).,20y0,x244y3,3x(0,20),(9,2),(9, 18)MNMN 题型三题型三 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+k c)(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.分析 (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及|
8、d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.解 (1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 1316-k (2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,学后反思 (1)与平行有关的问题,一般地可考虑运用向量平行的充要条件,用待定系数法求解.224(x-4)-2(y-1)0(x-4)(y-1)155x4,x4- 552 52 5y1y1-5552 552 5d(4,1+)(4,1-)5555 解得或或(2)向量共线定理的坐标表示
9、提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.举一反三举一反三3.已知梯形ABCD中， 则A（1，1），B(3,-2),C(-3,-7),若 。求D点坐标。AB CDAD(2)BCAB 解析 设D点坐标（x,y),则(2, 3),ADAB （x-1,y-1),(3,7),( 6, 5),2( 10,1)CDxxBCBCAB ,2(7)3(3)0,(2)ABCDxxADBCAB 又题型四题型四 向量的综合应用向量的综合应用【例4】(14分)
10、已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.(x-1)+10(y-1)=0,解得x=-9,y=2,D点坐标为（-9，2）分析 利用向量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题.解 (1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上,则2+3t=0,解得 若P在y轴上,
11、则1+3t=0,解得 若P在第二象限,则31- t32-0,3t20,3t1解得32-t 31-t(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t), 若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而 无解, 故四边形OABP不能成为平行四边形. 23t-313t-3学后反思 (1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性.(2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而方程(组)是求解的重要工具,这一方法需灵活应用.举一反三举一反三4. 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4
12、),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解析 方法一:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).OP,OB共线,4x-4y=0.又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP、CA共线,-6(x-2)+2(6-y)=0.解由组成的方程组,得x=3,y=3,点P的坐标为(3,3).方法二:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由AP,AC共线的充要条件知(4t-4)6-4t(-2)=0,解得 ， OP=(4t,4t)=(3,3)，点P的坐标为(3,3
13、).43t 易错警示易错警示【例】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .错解 由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4), )552,55(52(2,4)|AB|AB错解分析 与AB共线有两种情况一是同向共线,一是反向共线,错解中忽略了反向共线这一情况)552,55(|AB|AB)552,-55(|AB|AB正解 与AB同向时为 与AB反向时为 【例2】 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7)，向量 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ ABCD 与AB CD 错解分析 在证明三点共线或直线平行时，直接由 得 ABCD，这是不正确的。因为向量
14、平行与直线平行存在一定的差异：向量平行不等于对应的直线平行，还可能出现直线的重合；而直线平行时，对应的向量平行。所以解题时应区分开这一点。正解 =（2，4）， =（1，2），2241=0， 又 =（2，6）， =（2，4），A,B,C三点不共线，直线AB与直线CD不重合，ABCD.AB AB AB CD CD AC 错解 =（1（-1），3（-1）=（2，4）， =（2-1，7-5）=（1，2），又2241=0， ，ABCD.AB AB CD CD 考点演练考点演练10.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，求k的值。解析 方法一：ka+b=(k-3,2k+2),a-
15、3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数 ，使ka+b= (a-3b),(k-3,2k+2)= (10,-4),31011,224 ,33.kkk 方法二：ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),(ka+b) (a-3b),(k-3) (-4) 10(2k+2)=0, k=-13.11.已知ABC中，A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N是分别AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交与F，求DF解析 如图所示，A(7,8),B(3,5),C(4,3), =(3-7,5-8)=(-4,-3), =(4-7,3-8)=(-3,-5).D是 的
16、中点， 又M、N分别为AB、AC的中点，F为AD的中点,AB AC BC 1()( 3.5, 4).2ADABAC 1(1.75,2).2DFAD 12.在 ABCD中，A(1,1), =(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM交BD于点P(1) 若 =（3，5）求点C的坐标;(2) 当 时，求点P的轨迹AB ADABAD 解析 （1）设点C的坐标为（ ），又 即（ ）=（9，5）， 即点C（10，6）00,xyACAB(3,5)(6,0)(9,5),AD 001,1xy0010,6xy, x y（2）设P( ),则 ， ABCD为菱形， (1,1)(6,0)(7,1),BPAPABxyxy 11133()2223(3(1),3(1)(6,0)(39,33)ACAMMCABMPABAPABAPABxyxy ABAD ,BPAC (7,1) (39,33)0 xyxy22102220(1)yxyy即(x-7)(3x-9）+(y-1)(3y-3)=0,x故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.