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1、计算力学第计算力学第1章章一、泛函的定义补充内容变分法是在一组容许函数中选定一个函数，使给定的泛函取驻值(研究求泛函极大（小）值的方法)。简单地说，泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。说明泛函具体含义的三个实例。实例1 在xy平面内有A、B两定点，连接A、B有很多条曲线y=y(x),x 是自变量，是自变量，y是独立函数，曲是独立函数，曲线的长度线的长度L是随不同的曲线是随不同的曲线y 而定的。而定的。L 是一个泛是一个泛函：函：实例2 在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A滑到B需要
2、一定的时间T。T是随不同的曲线y(x)而改变的。所以T 是一个泛函。假设A在坐标原点，故质点由A滑到B的速度为则T为实例3 假设有一不计自重的弹性杆OB,长为L，截面面积A，弹性模量E。O端固定，x 轴沿杆的轴线向下，B端受拉力P作用。受力以后，杆内各点产生随x变化的位移u(x),因而产生应变 和应力。在线弹性范围内，定义应变能密度由于故杆内总应变能为拉力P所作的功：杆的总势能：因此是一个泛函。泛函的定义设y(x)是已给的函数集，如果对于这个函数集合中任一函数y(x)恒有某个确定的数与之对应，记为y(x)，则记y(x)是定义于集合y(x)上的一个泛函。泛函的基本点（1）泛函有它的定义域。定义域
3、是指满足一定的边界条件、初始条件和函数的连续程度的函数集。定义域内的函数称为可取函数或容许函数。y(x)亦称为泛函的宗量。（2）泛函y(x)与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。对变分学发展有重大影响的三个历史命题：1、最速降线问题。在A、B两端点固定的边界条件下，从A滑到B所需的时间最短。通过质点滑过曲线所需时间的变分为零，即求得最速降线。John Bornouli 于1696年提出。T=02、短程线问题。求曲面(x,y,z)=0上两定点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)间长度最短的曲线。问题归结为求泛函的极小值。其中函数y(x)、z(x)
4、满足约束条件(x,y,z)=0此问题属于“条件变分”问题。John Bornouli 于1697年解决。3、等周问题。在长度一定的封闭曲线中，什么样的曲线所围面积最大？已知曲线用参数表达为x=x(s),y=y(s)。周长为固定边界条件为所围面积等周问题可归纳为端点固定条件式及限制条件（长度一定的封闭曲线）下，从一切x=x(s),y=y(s)的函数中选取一对函数，使泛函R为最大。条件变分问题。Euler 于1744年解决。二、变分及其特性1、泛函宗量的变分定义：对于泛函y(x)，y(x)是定义域中的任何元素，如果y(x)由由y0(x)变成变成y1(x)，则，则 y1(x)-y0(x)，则叫做，则
5、叫做y(x)在在y0(x)上的变分，上的变分，记作记作y=y1(x)-y0(x)常用y=y1(x)-y0(x)作为泛函宗量的变分。变分y和函数微分dy的区别：变分y反映的是整个函数的改变，函数微分dy反映的是同一函数y(x)因x取不同值而产生的差异。函数接近度的概念如果两条曲线满足以下条件：则称曲线y=y(x),有k 阶接近度。接近度的阶数越高，曲线接近得越好。Lagrange引用小量 保证曲线有k 阶接近度：小量 0。零阶接近度曲线一阶接近度曲线2 2、泛函的连续对于任意给定的00，总可找到，并当就能使则称泛函y(x)在y(x)=y1(x)处k 阶接近地连续。3、泛函的变分（1）泛函变分是泛
6、函增量的线性主部“泛函变分”可以说是“函数微分”概念的推广。什么是函数y=f(x)的微分？例如：y=f(x)=sinx如果xx+x，则函数的增量从式中可看到：y与x之间的函数关系是非线性的。如果函数y=f(x)在给定点x 处有导数f(x)，则于是所以第一项即dy 是x 的线性函数，第二项，是比x 高阶的无穷小量所以函数的微分dy=f(x)x既是函数增量y的线性部分，又是y 的主要部分，即“线性主要部分”。泛函的变分？例如泛函增量 有两项组成，第一项记为：当函数y(x)固定时，线性泛函。因为是关于y的第二项：所以于是此式与函数的微分式非常相似，即泛函的变分亦可理解为两部分：第一部分是y 的线性泛
7、函；第二部分是比y 更高阶次的无穷小量。泛函变分的定义：即泛函y(x)的变分 是泛函随宗量y(x)的微小增量y而产生的增量的线性主要部分。（2）拉格朗日泛函变分定义如果泛函y(x)的变分存在，那么此变分等于函数的导数在=0 处的值，即4、泛函的驻值（1）函数的驻值如果函数y(x)在x=x0附近的任意点上的值都不大（小）于y(x0)，即则称函数y(x)在x=x0上达到极大（极小），而且在x=x0上有对于多元函数根据泰勒公式：式中是关于增量的一次、二次齐次式，其中使多元函数为极大或极小的条件是：也可写成：称为函数的驻值条件，其解称为驻点，驻点处的函数值称为驻值。（2）泛函的驻值如果泛函y(x)在任
8、何一条与y0(x)接近的曲线上的值不大（小）于y0(x)，即则称泛函y(x)在曲线y=y0(x)上达到极大（或极小）值，而且在y=y0(x)上有驻值条件即泛函y(x)在y0(x)的一阶变分为零。4 4、变分的计算方法1 1、微分与变分能够互调：2、积分与变分能够互调：3、设则4、设则5、设则6、设则三、欧拉方程1、变分法的基本预备定理如果函数F(x)在区间(x1,x2)上连续，而任意选定的函数y(x)满足下列一般条件：（1）一阶或若干阶可微；（2）（3）并且有下式成立则在区间(x1,x2)上有F(x)0 2、欧拉方程的建立假设一个自变量x,一个独立函数y,一般泛函形式如下：如图所示，如果存在过
9、定点A、B两点并且其一阶导数是连续的极值曲线使上式泛函取极值，求此极值曲线。解：设y(x)就是欲求的极值曲线，在y(x)的近旁构造一类可取函数为与x无关的微小参量，y(x)是满足变分法预备定理中的3个一般条件的任意选定的函数。（1）（2）而且y(x)具有下列边界条件：（3）将（2）代入（1），得到以为参变量的泛函：根据泛函取极值的条件及泛函变分的Lagrange定义：即由于且=0时所以将（4）第二式进行分部积分：（4）因（5）所以（5 5）变为：则（4）式为：由变分法预备定理得：（Euler-Lagrange方程）注意：Euler方程式中的第二项为全导数。而且所以展开得：另外，根据泛函的变分是
10、泛函增量的线性主部这一定义也可得到Euler方程：解：仍设y(x)就是欲求的极值曲线，则与y(x)邻近的任意容许函数仍设为其中y(x)是满足变分法预备定理中的3 3个一般条件的任意选定的函数。并且要使泛函取极值，必须满足驻值条件=0，而记为分别为泛函的一阶、二阶、三阶变分。因此以前述同样的方法可以得到Euler方程，推导过程略。3、利用欧拉方程求解泛函极值问题（1）实例1（过A、B两定点间长度最短的曲线）中，泛函形式为：被积函数为代入Euler方程得：解得代入边界条件后得A、B两点间最短曲线为直线。与实际情况一致。（2 2）实例2 2（最速降线问题）中，泛函形式为：利用展开后的EulerEul
11、er方程：因被积函数F不显含x，可简化为：现证明：即证：而所以即证明了（6）将被积函数代入（6），得：分离变量得：引入参数，令则Euler Euler 方程的解为令2=-，则解化为：又当=0=0 时，取x=0=y,E=D/2,于是这组方程是半径为D/2的轮沿着x 轴滚动时，轮周上A点轨迹的方程。这是一组圆滚线方程，常数D由圆滚线通过B点确定，它能使其上质点滑下的时间最短。也称其为最速降线（旋轮线或摆线）。变分法的几个步骤：（1 1）从物理问题建立泛函及其条件；（2 2）通过泛函变分，利用变分法基本预备定理，求得EulerEuler方程；（3 3）在边界（或初始）条件下求解EulerEuler方
12、程，得到极值解。（3 3）实例3 3（受拉杆件问题）中，泛函形式为：将被积函数代入EulerEuler方程得：求解得：位移u 在杆内的分布是线性的。两个待定常数由以下两个边界条件决定：x=0 时，u=o;x=L 时，P=p。以下用变分的方法推导。令=0，得在x=0处，u=o，u=0，但x=L处，u0,所以由于在(0,L)开区间内u的任意性，得微分方程：AE u”=0 (a)边界条件：x=L时，AE u=p (b)x=0 处，u=0 (c)（c)式为方程(a)的第一类边界条件，也称为位移边界条件，是泛函极值曲线首先要满足的边界条件，所以也称为强加边界条件.(b)式为第二类边界条件。是变分后从泛函
13、中分离出来的，是为了使泛函满足极值条件而又必须满足的边界条件，称为自然边界条件，即x=L处力的边界条件。利用泛函形式求解的优点：（1）泛函中包含了微分方程的第二类边界条件（自然边界条件），而在微分方程中却不包含，需作专门考虑。（2）泛函被积函数中包括的最高阶导数的阶次低于微分方程中最高阶导数的阶次。因此，通过泛函进行求解更加方便。四、其他形式泛函的欧拉方程1、具有高阶导数泛函的Euler方程泛函：Euler方程：这是关于y(x)的2n 阶微分方程，一般称为泛函（1）的Euler-Poisson方程。其解的2n个待定常数由2n个端点条件决定：(1)例：假设有一不计自重的悬臂梁,长为L，截面面积A
14、，弹性模量E。受分布荷载q(x)，并在自由端处受集中力P和集中力偶M作用,处于平衡状态。求梁内各点随x 变化的位移v(x)。解：应变能所以外力功总位能（1）用Euler方程求解将被积函数代入Euler方程得到：此即挠曲线方程。此方程的解有四个待定常数需要确定。x=0时，v=0,v=0力的边界条件：梁自由端处的条件。（2）直接用泛函变分求解位移边界条件：对第二项进行分部积分：代入式：由位移边界条件，即有于是要使总位能取驻值，须使=0 成立，则必须要有：2、含有多个待定函数的泛函泛函：Euler方程：3、含有多个自变量函数的泛函1）、二变量问题泛函：Euler方程：其中例：泛函由Euler方程知：
15、它的极值条件归结为求解Laplace方程：例：泛函由Euler方程知：它的极值条件归结为求解Poisson方程：2）、多变量问题泛函：Euler方程：其中 13 变分原理和里兹方法 1 13 31 1变分原理的定义和意义变分原理的定义和意义 1.变分原理与变分法变分原理与变分法若一连续介质问题存在一标量泛函若一连续介质问题存在一标量泛函 ：（1.3.1）则连续介质问题的解则连续介质问题的解 u 一定使泛函一定使泛函 对微对微小变分小变分 u 取取驻值驻值，即，使泛函即，使泛函 的的“变分变分”等于零：等于零：（1.3.2）称为称为变分原理。变分原理。由变分原理求解连续介质问题的方法称为由变分原
16、理求解连续介质问题的方法称为变分法。变分法。说明：说明：（1 1）要求存在某一标量泛函）要求存在某一标量泛函 连续介质力学问题；连续介质力学问题；热传导问题；热传导问题；流场问题；流场问题；电磁场问题等。电磁场问题等。（2 2）是等效积分形式的一种特殊情形。）是等效积分形式的一种特殊情形。对式（对式（1.3.11.3.1）求变分，有）求变分，有（3 3）弹性力学中基本变分原理：）弹性力学中基本变分原理：最小势（位）能原理最小势（位）能原理最小余能原理最小余能原理平衡微分方程平衡微分方程+力的边界条件力的边界条件 几何方程几何方程+位移边界条件位移边界条件 2.变分法的求解过程变分法的求解过程（
17、1）选取未知函数）选取未知函数 u 的近似解；的近似解；（1.3.3）注意：注意：使使 u 满足满足强制边界条件强制边界条件。（2）将函数）将函数 u 的近似解代入泛函的近似解代入泛函 (u):（3）对泛函）对泛函 (ai)求变分，并令等于零；求变分，并令等于零；（1.3.4）（1.3.4）由于由于是任意的，是任意的，故上式成立时，必有：故上式成立时，必有：将上式表示成矩阵形式，有：将上式表示成矩阵形式，有：其中：其中：得到与待定参数得到与待定参数 a 的个数相等的方的个数相等的方程组，由此可求得待定参数程组，由此可求得待定参数a 。里兹（里兹（RitzRitz）法）法（1.3.51.3.5）
18、特殊情形：特殊情形：（1.3.6）式（式（1.3.6）为一）为一线性方程组线性方程组。式中，式中，K 为一为一对称的常系数矩阵对称的常系数矩阵。若泛函若泛函 (u)中中 u 及及对对u的导数的最高方次的导数的最高方次为二次，则称此泛函为二次，则称此泛函(u)为为二次泛函二次泛函。对于二次泛函对于二次泛函(u)，有：有：且此泛函且此泛函(u)，可表示为：可表示为：（1.3.12）1 13 32 2线性、自伴随微分方程变分原理线性、自伴随微分方程变分原理的建立的建立1.线性、自伴随微分算子n n如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：n n不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解
19、；n n还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法Ritz法。线性、自伴随微分方程的定义：n n微分方程为微分算子若具有性质：则称为线性微分算子。对上式分部积分，直至u 的导数消失，若内积后，求积；得：2.泛函的构造n n设有微分方程：利用 Galerkin（伽辽金）格式整理成：就得到泛函因为算子是线性、自伴随的，所以：微分方程的等效积分形式：整理得到：结论：结论：（1 1）对于线性、自伴随微分方程，一般都存在）对于线性、自伴随微分方程，一般都存在一标量泛函一标量泛函（u）,原微分方程的边值问题原微分方程的边值问题等价于该等价于该泛函泛函（u）取驻值，即：）取驻值，即：（2 2）
20、对于线性、自伴随微分方程，其）对于线性、自伴随微分方程，其等等效积分的效积分的Galerkin Galerkin 形式形式等价于该等价于该泛泛函函（u）的变分等于零，即：的变分等于零，即：（u）取驻值。取驻值。变分原理：变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，对于未知场函数任意一个微小的变化使取驻值的即为问题的控制方程及边界条件的解。自然变分原理原问题微分方程和边界条件的等效积分的Galerkin提法等效于泛函取驻值。反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。这里泛函可以通过等效积分的Galerkin提法得到。这种变分原理称为自然变分原理。例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能
21、力耗散原理，称为自然变分原理。3.泛函泛函(u)的极值性的极值性强制边界条件与自然边界条件：强制边界条件与自然边界条件：若算子若算子 L 为偶数（为偶数（2m）阶的，即对于）阶的，即对于 2m 阶的微分方程：阶的微分方程：对对（在域（在域 内内）（在边界（在边界 上）上）含含 0 m-1 阶导数的边界条件，称为阶导数的边界条件，称为强制边界强制边界条件。条件。近似解应事先满足。近似解应事先满足。含含 m2m-1 阶导数的边界条件，称为阶导数的边界条件，称为自然自然边界条件边界条件等价于泛函等价于泛函（u）取驻值：）取驻值：极大值：极大值：极小值：极小值：不定：不定：取决于泛函取决于泛函（u）的
22、特性）的特性（u）极值性：极值性：例：例：二维热传导问题：二维热传导问题：（2 2）研究其极值性。）研究其极值性。试：（试：（1 1）建立它的泛函；）建立它的泛函；强制边界条件强制边界条件 自然边界条件自然边界条件（1 1）解：解：原问题的原问题的GalerkinGalerkin等效积分（变分）等效积分（变分）形式可表示为：形式可表示为：分步积分：分步积分：同理，得：同理，得：代入代入（1 1）：对照变分原理：对照变分原理：得到：得到：（1）对（对（1 1）式求二阶变分：）式求二阶变分：把把写成如下形式写成如下形式得到，在得到，在时，泛函时，泛函（）取极小值。）取极小值。1 13 33 3 里
23、兹法（里兹法（RitZRitZ）方法）方法基于变分原理的近似解法Ritz（里兹）法基于变分原理的近似解法1.求解步骤：1）假设近似解：为待定参数，满足强制边界条件。2）将代入泛函的极值问题（求函数u），转化为求多元函数的极值问题。3）求解线性代数方程组u的近似解边界条件边界条件例：例：用用 Ritz Ritz 法求解以下二阶常微分方程法求解以下二阶常微分方程（1 1）（2 2）解：解：（1 1）建立变分原理，求原问题的泛函）建立变分原理，求原问题的泛函(u)（3）（4）代入式（代入式（4 4），有），有得到：得到：（5 5）（2 2）选取试探函数，建立里兹法方程求解）选取试探函数，建立里兹法方
24、程求解（1 1）选取一项多项近似解选取一项多项近似解满足强制边界条件满足强制边界条件代入式（代入式（5 5），得），得由由（a）=0=0，得，得所求近似解为：所求近似解为：说明：说明：此解同此解同Galerkin Galerkin 法的一项近似解。法的一项近似解。当存在变分原理时，变分法（当存在变分原理时，变分法（RitzRitz法）法）与与 Galerkin Galerkin 法结果相同。法结果相同。（2 2）选取近似解为：选取近似解为：使其满足强制边界条件：使其满足强制边界条件：显然，满足：显然，满足：由此求得：由此求得：代入式（代入式（5 5）：）：所求解为：所求解为：与精确解相同与精确
25、解相同例：例：一端固定，另一端自由的梁，其跨度为一端固定，另一端自由的梁，其跨度为l，抗抗弯刚度弯刚度 EI 为常数，分别承受均匀分布载荷为常数，分别承受均匀分布载荷q、集中力集中力 P 的作用，如图所示。若用的作用，如图所示。若用Ritz法（或法（或最小势能原理）求解，试最小势能原理）求解，试（1）构造两种形式的挠度近似函数（三角）构造两种形式的挠度近似函数（三角函数形式、多项式）；函数形式、多项式）；（2）在上述中，任选一种求梁的挠度（取）在上述中，任选一种求梁的挠度（取一项待定系数）一项待定系数）。解：解：（1 1）构造挠度近似函数）构造挠度近似函数 w（x）；）；强制边界条件强制边界条
26、件 自然边界条件自然边界条件三角函数形式：三角函数形式：多项式形式：多项式形式：（2 2）求梁的挠度（取一项）求梁的挠度（取一项待定系数）待定系数）；该梁的能量泛函：该梁的能量泛函：取一项多项式近似解：取一项多项式近似解：代入泛函式，得：代入泛函式，得：建立里兹（建立里兹（RitzRitz）法方程求解：）法方程求解：所求近似解：所求近似解：2.解的收敛性1）连续性满足Cm-1阶连续性要求要求2）完备性取自完备的函数序列3.特点1)近似解对全域而言2)试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的精度与试探函数的选择有密切关系。3)待定系数不表示特定的物理意义。4)如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。4.提示：1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性自伴随微分方程。2）收敛性有严格的理论基础（泛函分析）。3）事先满足强制边界条件，则解有明确的上下界性质。如不事先满足，需要进行处理（约束变分原理）。关于强制边界条件与自然边界条件若微分算子是线性自伴随的，Galerkin法的等效积分形式问题泛函近似场函数应满足强制边界条件关于泛函取极值：根据Galerkin格式或变分原理，微分算子线性自伴随：=0假设微分算子L的最高阶导数是2m偶数阶，则：真解使得泛函取极值，即，或极大值或极小值。