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1、计算力学课堂教学课计算力学课堂教学课件第件第2章章-22.2.5 2.2.5 结构刚度矩阵结构刚度矩阵 K 和和结构等效结点载荷列阵结构等效结点载荷列阵 P 的集成的集成总刚度阵总刚度阵整体等效结点载荷列阵整体等效结点载荷列阵1.1.刚度矩阵刚度矩阵 K 的集成的集成设系统有设系统有 n 个结点，个结点，n e 个单元：个单元：式中：式中：（2.2.50）的作用是：将每个单元刚度矩阵的子块，按该单元结点的总体编号送入总刚中合适的位置。这一公式是为了表示方便，实际程序中，只须将单刚根据单元结点编号送入总刚即可。3109eijm说明：说明：（1 1）只有只有9 9个子矩阵不为零，个子矩阵不为零，其
2、余子矩阵全为零。其余子矩阵全为零。（2 2）即将即将扩大到与总刚度阵扩大到与总刚度阵中的各子矩阵按照中的各子矩阵按照（3 3）即将即将单元结点的实际编码放入总刚度阵中。单元结点的实际编码放入总刚度阵中。反应单元刚度阵反应单元刚度阵 Ke 对总刚度阵的贡献。对总刚度阵的贡献。K K 同阶矩阵，以便矩阵相加。同阶矩阵，以便矩阵相加。2.2.结构等效结点载荷列阵结构等效结点载荷列阵 P 的集成的集成（2.2.51）3109eijm对每一个单元的作用是将单元载荷列阵作用在每个单元结点上的等效载荷，送到总载荷列阵的相应位置。例：例：总刚度矩阵形成示例总刚度矩阵形成示例123456单元号：单元号：对应的整
3、体对应的整体节点号：节点号：（1 1）各单元刚度阵：）各单元刚度阵：（2 2）将单元刚度阵扩大成与）将单元刚度阵扩大成与总刚度阵相同的阶数总刚度阵相同的阶数1231 2 31 2 3 4 5 61234561234561234561 2 3 4 5 62532 5 31234565635 6 31234561 2 3 4 5 61234562 4 52451234561 2 3 4 5 6123456123456123456 1 2 3 4 5 62.2.6 2.2.6 结构总刚度矩阵结构总刚度矩阵 K 的特点的特点1.1.K 中元素中元素 kij 的物理意义的物理意义 当结构的第当结构的第
4、j 个结点位移方向上个结点位移方向上发生发生单位位移单位位移，而，而其它结点位移方向其它结点位移方向上位移为零上位移为零时，需时，需在第在第 i 个结点位个结点位移方向上移方向上施加的结施加的结点力点力大小。大小。2.2.K K 的性质（特点）的性质（特点）（1 1）对称性）对称性（2 2）奇异性）奇异性每行（或每列）的所元素之和等于零，每行（或每列）的所元素之和等于零，K K 的秩（平面问题）为：的秩（平面问题）为：（3 3）主对角元素恒大于零）主对角元素恒大于零（4 4）K 为一稀疏阵，且非零元素呈带状分布为一稀疏阵，且非零元素呈带状分布带宽带宽 D 的计算：的计算：带宽带宽 D 的存贮量
5、：的存贮量：如：如：带宽带宽 D 的存贮量：的存贮量：全部元素存贮量：全部元素存贮量：带宽带宽 D 的存贮量：的存贮量：（5 5）主元恒正）主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优2.2.7 2.2.7 引入位移边界条件引入位移边界条件1.1.引入位移边界条件的意义引入位移边界条件的意义（2.2.32.2.32 2）最小势能原理最小势能原理得到的有限元方程：得到的有限元方程：平衡微分方程平衡微分方程力的边界条件力的边界条件还还要求满足要求满足：变形协调方程（几何方程）变形协调方程（几何方程）位移边界条件位移边界条件（在域（在域 V 内）内）（在位移（在位移 Su 边界上）边界上）其
6、中：其中：K K 为一奇异矩为一奇异矩阵。阵。故方程（故方程（2.2.322.2.32）无法求解，须引入位）无法求解，须引入位移边界条件进行修正。移边界条件进行修正。有限元方程：有限元方程：1.1.每一个方程式表示表示:一个结点在一个自由度方向的平衡条件，上式是弹性体所有结点平衡方程的汇集。2.所选择的位移函数保证了变形连续性，协调条件自然满足。3.已考虑了外载荷势能，故方程包含外力边界条件4.方程尚不满足几何边界条件，目前还不能解出全部结点位移。如：如：其中：其中：为给定的结点方向位移。为给定的结点方向位移。2.2.引入位移边界条件的方法引入位移边界条件的方法（1 1）直接代入法直接代入法将
7、向量将向量 a、P 分成两部分：分成两部分：待定的结点位移；待定的结点位移；已知的结点位移。已知的结点位移。（2.2.322.2.32）将刚度阵将刚度阵 K 分成分成4 4个分块矩阵：个分块矩阵：方程（方程（2.2.322.2.32）变为：）变为：（2.2.522.2.52）由由 K 的对称性，显然有：的对称性，显然有：将方程（将方程（2.2.522.2.52）展开：）展开：（2.2.532.2.53）令令：（2.2.542.2.54）给出给出 2nl个方程，求解个方程，求解 2nl个结点位移。个结点位移。（1 1）直接代入法直接代入法（2.2.542.2.54）（2.2.52.2.55 5）
8、讨论：讨论：（1 1）需重新组合方程，新的方程阶数降低了。）需重新组合方程，新的方程阶数降低了。（2 2）重新组合方程时，已将原方程的顺序改变，）重新组合方程时，已将原方程的顺序改变，不易编程实现。不易编程实现。给出给出 2nl个方程，求解个方程，求解 2nl个结点个结点位移。位移。缺点：矩阵要重新排列，引起不必要的麻烦。（2 2）对角线元素改对角线元素改“1 1”法法设：设：（如：无移动的铰支座、链（如：无移动的铰支座、链杆支座等。）杆支座等。）当：当：时，时，优点：优点：（1 1）不改变原方程的阶数；）不改变原方程的阶数；（2 2）不改变结点未知量的顺序；）不改变结点未知量的顺序；给程序编
9、制带来方便。给程序编制带来方便。缺点：缺点：不能用于非零约束（3 3）对角线元素乘大数法对角线元素乘大数法设：设：则将则将其中：其中：第第 j 个方程个方程修改后的修改后的 第第 j 个方程成为：个方程成为：第第 j 个方程近似成为：个方程近似成为：优点：优点：（1 1）方程的阶数不变；）方程的阶数不变；（2 2）结点未知量的顺序不变；）结点未知量的顺序不变；给程序编制带来方便。给程序编制带来方便。（3 3）不易引起修改后的方程成为病态方）不易引起修改后的方程成为病态方程，提高计算精度与稳定性。程，提高计算精度与稳定性。对角线元素乘大数法对角线元素乘大数法 为现有有限元为现有有限元程序中常用的方法。程序中常用的方法。引入位移边界条件后，得到的有限元方程引入位移边界条件后，得到的有限元方程表示成：表示成：上述方程中，刚度矩阵上述方程中，刚度矩阵不再是奇异矩阵，不再是奇异矩阵，可以具体求解。可以具体求解。2.2.8 2.2.8 应用举应用举例例