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1、一、 等腰三角形的“三线合一性质的逆定理“三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线与它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分线与它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一边的中线与这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。简言之： 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：: ABC中，AD是BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，求证：ABC是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种
2、思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在ABD与ECD中 AD=DE ADB=EDC BD=CD ABDECD AB=CE, BAD=CED AD是BAC的角平分线 BAD=CAD CED=CAD AC=CE AB=AC ABC是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：: ABC中，AD是BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC是等腰三角形。分析：通过ASA的方法来证明ABD与ACD的全等，由此推出AB=AC得出ABC是等腰三角形证明：:
3、ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用SAS的方法来 证明ABD与ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ABC是等腰三角形。即垂直平分线的定理二、“三线合一的逆定理在辅助线教学中的应用1逆定理的简单应用例题1：如图，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D为垂足，ABAC。求证：2=1+B分析：由“AD平分BAC，CDAD推出AD所在的三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E，由逆定理得出AEC是等腰三角形由此就可得出2=AEC，又AEC=1+B，所以结论得证。2逆定理与中位线综合应用例题1： 如图，在ABC中，A
4、D平分BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。求证： EFAB，EF=(AC-AB) 分析： 由可知，线段AE既是BAC的角平分线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G。简单证明：由逆定理得出AGC是等腰三角形，点E是GC的中点EF是BGC的中位线得证。例题2如图，：在ABC中，BD、CE分别平分ABC, ACB,AGBD于G，AFCE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求： FG的长。分析：通过条件可以知道线段CF与BG满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长AG、A
5、F来构造等腰三角形。简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理得出ABK是等腰三角形点G是AK的中点 同理可得点F是AH的中点FG是AHK的中位线 由此就可解出FG的长。3逆定理与直角三角形的综合应用例题1，如图，AD为RtABC斜边BC上的高，ABD的平分线交AD于M，交AC于P, CAD的平分线交BP于Q。求证：QAD是等腰三角形。 分析：由直角三角形的性质可知道AQM=90， 由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以想到延长AQ交BC于点N。简单证明：由添辅助线得出ABN是等腰三角形Q点是AN的中点在RtAND中，Q是中点QA=DQ,得证。例题2如图，在等腰ABC中，C=90，如
6、果点B到A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。分析：条件满足了逆定理2，所以延长BE与AC，交于点F。简单证明：由所添辅助线可知ABF是等腰三角形E点是BF的中点BF=2BE=10再由ADC与BFC的全等得出AD=BF结论求出。对条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，以到达解决问题的目的。4逆定理的简单应用即垂直平分线的应用例题1 2006年宝山区中考模拟题如图，二次函数y=ax2+bx的图像开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。 证明: AOB是等腰直角三角形分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点A作ADx轴，垂足为D
7、及直线y=x的性质，可以知道AOB是等腰直角三角形。例题2如图，以ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE与ACFG，求证：假设DFBC,那么AB=AC分析：从条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的相等并都等于90度，现要证明等腰三角形，能与其最密切的想到是否也能构造直角呢？于是就想到了添辅线AH简单证明：分别过点A、D、F作AHBC，DIBC,FJBC,分别交BC于点H，CB的延长线于I，BC的延长线于J由DFBC，DI=FJ又 AHCCJFAAS，ABHBDI(AAS)HC=FJ,BH=DIBH=HC,得证。抓住条件与结论的联系，例题1中抛物线的对称性与等腰
8、三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一性质的逆定理的熟练把握，再进展对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。5逆定理在作图中的应用：线段m，及，求作ABC，使ABC=，ACB=，且AB+BC+CA=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规标准的做出。通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，由三边的与为m以及外角的性质我们可以找到一顶点A，再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点B与C。作法：1、画射线OP，在OP上截取线段OQ=m,2、画射线OM，使MOP=1/23、画射线QN，使NQO=1/2,交射线OM于点A4、分别作AO、AQ的垂直平分线，交OQ于B，C两点，ABC就是所求三角形。等腰三角形“三线合一性质的逆命题在辅助线教学中的应用不但可以强化学生解题的能力，而且加强了相关知识点与不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路，丰富联想，从而到达融会贯穿的目的。第 9 页