《动态几何：三线合一、中线定理、等腰直角三角形性质联用(涉及相似、平移、旋转、翻折变换)[1].doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动态几何：三线合一、中线定理、等腰直角三角形性质联用(涉及相似、平移、旋转、翻折变换)[1].doc（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流动态几何：三线合一、中线定理、等腰直角三角形性质联用(涉及相似、平移、旋转、翻折变换)1.精品文档.1、已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PMAB，PNBC，垂足分别为E、F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是_（2）当MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）如图3，等腰RtABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，RtMPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H
2、，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？1、已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PMAB，PNBC，垂足分别为E、F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是_（2）当MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）当MPN移动到图3的位置时，点P在AC的延长线上，RtMPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由1、已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑
3、动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PMAB，PNBC，垂足分别为E、F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是_（2）当MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）当MPN移动到图3的位置时，点P在AC的延长线上，RtMPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由2、（2013湖北模拟）已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN点A旋转到BM=DN时，请直
4、接写出AH与AB的数量关系：（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）3、已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM
5、,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想并加以证明4、在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点BABCEFG图15-2DABCDEFG图15-3ABCFG图15-1（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG
6、的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）5、（临沂市）如图6，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图中，DE交AB于M，DF交BC于N.试说明DMDN；在这一过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化
7、？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至图的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；继续旋转至图的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用说理.图66、在ABC中，AB=AC，ACBA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
8、（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）7、（8分）（2012南充）在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B（1）求证：MA=MB；（2）连接
9、AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由8、（2012长宁区二模）在RtABC中, AB=BC=4,B=,将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长),如图(1)、图(2)表示三角板旋转过程中的两种情形.(1)直角三角板绕点P旋转过程中,当BE= 时,PEC是等腰三角形； (2)直角三角板绕点P旋转到图(1)的情形时,求证:PD =PE； (3)如图(3),若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处,设AM : MC=
10、m : n(m、n为正数),试判断MD、ME的数量关系,并说明理由.图（1）图（2）图（3）9、（2013北京）在ABC中，AB=AC，BAC=（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC=45，求的值10、（2013北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE
11、，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若，则AD的长为_。EDCBA11、（2012北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，求CD的长和四边形ABCD的面积12、（2012宁德）某数学兴趣小组开
12、展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角ABC中，AB=AC，BAC=90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分BAM，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当045时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF（如图2）小亮的想法：将ABD绕点A逆时针旋转
13、90得到ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；、小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45135且90时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135180时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由13、（2013齐齐哈尔（本小题满分8分）已知等腰三角形ABC中，ACB=90，点E在AC边的延长线上，且DEC=45，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F.当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN=BE。当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？（1） 若成立，请给予证明
14、；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由.（2） 当点D在BC边的延长线上时，如图所示，请直接写出你的结论.（不需要证明）14、（2013牡丹江）已知ACD=90,MN是过点A的直线，AC=DC,DBMN于点B，如图（1）易证BD+AB=CB， 过程如下：过点C做CECB于点C与MN交于点E ACB+BCD=90ACB+ACE=90BCD=ACE 四边形ACDB内角和为360BDC+CAB=180EAC+CAB=180EAC=BDC又AC=DC ACEDCB AE=DB CE=CB ECB为等腰直角三角形 BE=CB 又BE=AE+AB BE=BD+AB BD+AB=CB21世纪教育网(1) 当
15、MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明.(2) MN在绕点A旋转过程中当BCD=30，BD=时，则CD= , CB= .参考答案 （9-21页）1、解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直故答案为相等且垂直（2）成立，理由如下：MPN是直角三角形，MPN=90连接OB，OBE=C=45，ABC，MPN是直角三角形，PEAB，PFBC，ABC=MPN=BEP=BFP=90，四边形EBFP是矩形，BE=PFPF=CF，BE=CF，OB=OC=12AC，在OEB和OFC中，BE=CFOBE=OCFOB=OCOEBOFC（S
16、AS），故成立，（3）如图，找BC的中点G，连接OG，O是AC中点，OGAB，OG=12AB，AB=6，OG=3，OGAB，BHEGOH，EH：HO=2：5，BE：OG=2：5，而OG=12AB=3，BE=652、已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于
17、点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）解 析 （1）由三角形全等可以证明AH=AB，（2）延长CB至E，使BE=DN，证明AEMANM，能得到AH=AB，（3）分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，在RtMCN中，由勾股定理，解得x（1）如图AH=AB（2）数量关系成立如图，延长CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90RtAEBRtAND（3分）AE=AN，EAB=NADEAM=NAM=45AM=AM，AEMANM（4分）AB、AH
18、是AEM和ANM对应边上的高，AB=AH（5分）（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC252=（x-2）2+（x-3）2（6分）解得x1=6，x2=-1（不符合题意，舍去）AH=6（7分）3（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE 易证 （SAS） AE=AN；EAB=NAD又AM为公共边，即 -4
19、分来源:Z,xx,k.Com（2）猜想：线段和之间的等量关系为： 证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E 易证 （SAS） AM=AE；MAB=EAD 易证 （SAS） -7分3、1）线段BM、DN和MN之间又有怎样得数量关系是：BM+DNMN如图，延长CB到E，使BE=DN，连接AEAB=AD,ABE=D=90ABEANDAE=AN, BAE=NADBAM+NAD=45 BAM+BAE =45即EAM=MAN =45AEMANM所以MEMN因为MEBE+BMDN+BM所以DN+BMMN2、在DN上截取DE=BM，连接AE；四边形ABCD是正方形，ABM=D=90，AB=AD，
20、又DE=BM，RtABMRtADE，AM=AE，BAM=DAE；MAN=45，DAE+BAN=MAB+BAN=MAN=45，EAN=90-（DAE+BAN）=45，又MAN=45，EAN=MAN=45，又AM=AE，AN=AN，AMNAEN，得MN=EN，DN=DE+EN=BM+MN，即MN=DN-BMABCEFG图15-2DABCDEFG图15-3ABCFG图15-14、在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与C
21、G的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）4、（1）BF=CG；（1分）证明：在ABF和ACG中，ABCEFG图7HDF=G=90，FAB=GAC，AB=AC，ABFACG（
22、AAS），BF=CG（4分）（2）DE+DF=CG；（5分）证明：过点D作DHCG于点H（如图7）（6分）DEBA于点E，G=90，DHCG，四边形EDHG为矩形，DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=AC，FCD=GBC=HDC又F=DHC=90，CD=DC，FDCHCD（AAS），DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG（9分）（3）仍然成立（10分）（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD）图65、（临沂市）.6、在ABC中，AB=AC，ACBA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与
23、BC平行（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）解 析 （1）ME=MF，MEMF根据已知条件容易证明RtBEMRtCFM
24、，然后就可以得到结论；（2）结论仍然成立连接AM，根据等腰直角三角形的性质知道AMC=90，而两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动，由此得到四边形AEPF为矩形，进一步得到AE=PF=CF，然后就可以证明AEMCFM，利用全等三角形的性质就可以证明结论了；（3）仍然成立连接AM，和（2）一样，证明AEMCFM，然后利用全等三角形的性质就可以证明结论解 答 （1）ME=MF，MEMFAB=ACB=CBM=CM，BME=CMFBEMCFMME=MFEMA+AMF=FMC+AMF=AMC=90MEMF（2）ME=MF，MEMF；证明：连接AMABC是等腰直角三角形，M为
25、斜边BC的中点AM=12BC=CM，AMBC，EAM=C=45AMC=90两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动四边形AEPF为长方形AE=PF=CFAEMCFMME=MF，AME=CMFEMA+AMF=FMC+AMF=AMC=90MEMF（3）ME=MF，MEMF仍然成立7、（8分）（2012南充）在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小
26、值；若不存在，请说明理由解答：（1）证明：如图，过点M作MEOP于点E，作MFOQ于点F，O=90，四边形OEMF是矩形，M是PQ的中点，OP=OQ=4，O=90，ME=OQ=2，MF=OB=2，ME=MF，四边形OEMF是正方形，AME+AMF=90，BMF+AMF=90，AME=BMF，在AME和BMF中，AMEBMF（ASA），MA=MB；（2）解：有最小值，最小值为4+2理由如下：根据（1）AMEBMF，AE=BF，设OA=x，则AE=2x，OB=OF+BF=2+（2x）=4x，在RtAME中，AM=，AMB=90，MA=MB，AB=AM=，AOB的周长=OA+OB+AB=x+4x+=
27、4+，所以，当x=2，即点A为OP的中点时，AOB的周长有最小值，最小值为4+，即4+28.解：（1）BE = 0 、2 、 ； 4分（每个结果1分）（2）证：联结BP.AB=BC 且ABC=90 C=90 又P是AC中点 BPAC ，BP=PC 且 ABP=CBP=45CPE + EPB=90DPPE BPD + EPB=90 BPD = CPE在DPB和EPC中 DPBEPC （3分）PD=PE （1分）（3）法1：过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H. 由作图知，MGA = MGB = MHB =MHE =90 又 B = 90 MGBH是矩形，GMH = 90GMD + DMH
28、 =90DMH + HME=90 GMD = HME MGD MHE （1分） MGBH是矩形，GBMHtanA tan451GMAG GMBC 法2： _M_A_B_C_D_EP作MPAC,交AB与P, 则DMP EMC90 PME B90，ABBC A= C45 APM90 A45 APM CDMPEMC APM A45MAMP（等线代换）此法最易 _H9、2013北京10、2013北京11、作DFAC于F，CD2；S12、【答案】解：（1）证明：BAC90，DAEDAMMAE45，BADEAC45。 又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。 AE平分MAC。 （2）证明小颖的方法：
29、 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDB45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 由（1）知，FAECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。 DFEAFD AFE90。 在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDABC45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 又CAE900BAE900（45BA
30、D）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AGFBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。13、2013齐齐哈尔解 （1）答：不成立， 猜想：FNMF=BE， 理由如下： 证明：如图2，连接AD，M、N分别是DE、AE的中点，MN=AD，又在ACD与BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，MN=FNMF，FNMF=BE；（2）图3结论：MFFN=BE，
31、 证明：如图3，连接AD，M、N分别是DE、AE的中点，MN=AD，在ACD与BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，MN=BE，MN=FMFN，MFFN=BE 点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是会用类比的方法去解决问题，本题难度不是很大，答题的时候需要一定的耐心14、2013牡丹江考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质3718684分析：（1）过点C作CECB于点C，与MN交于点E，证明ACEDCB，则ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=ABAE即可证得；（2）过点B作BHCD于点H，证明BDH是等腰直角三角形，求
32、得DH的长，在直角BCH中，利用直角三角形中30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得解答（1）如图（2）：ABBD=CB证明：过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，ACE=90DCE，BCD=90ECD，BCD=ACEDBMN，CAE=90AFC，D=90BFD，AFC=BFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=ABAE，BE=ABBD，ABBD=CB如图（3）：BDAB=CB证明：过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，ACE=90+ACB，BCD=90+ACB，BCD=ACEDBMN
33、，CAE=90AFB，D=90CFD，AFB=CFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AEAB，BE=BDAB，BDAB=CB（2）如图（1），过点B作BHCD于点H，ABC=45，DBMN，CBD=135，BCD=30，CBH=60，DBH=75，D=15，BH=BDsin45，BDH是等腰直角三角形，DH=BH=BD=1，BCD=30CD=2DH=2，CH=，CB=CH+BH=+1；点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等