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1、 一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合。逆定理：如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那 么这个三角形是等腰三角形。如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明：已知:ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的中线，求证：ABC 是等腰三角形。分析：要证等腰三角形就是要证 AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三
2、角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅 线的方法是“延长加倍”，即 延长 AD 到 E 点，使 AD=ED，由此问题就解决了。证明：延长 AD 到 E 点，使 AD=ED，连接 CE 在ABD 和ECD 中 AD=DE ADB=EDC BD=CD ABDECD AB=CE,BAD=CED AD 是BAC 的角平分线 BAD=CAD CED=CAD AC=CE AB=AC ABC 是等腰三角形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知:ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的高，求证：ABC 是等腰三角形。分析：通过（ASA）的方法来
3、证明ABD 和ACD 的全等，由此推出 AB=AC 得出ABC 是等腰三角形 证明：已知:ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，又是 BC 边 上的高，求证：ABC 是等腰三角形。分析：AD 就是 BC 边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来 证明ABD 和ACD 的全等，由此推出 AB=AC 得出 ABC 是等腰三角形。（即 垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理的简单应用 例题 1 助 已知：如图，在ABC 中，AD 平分 BAC，CDAD,D 为垂足，ABAC。求证：2=1+B 分析：由“AD 平分BAC，CDAD”推出 AD 所在的 三角形是等腰三
4、角形，所以延长 CD 交 AB 于点 E，由逆定理得出AEC 是等腰三角形由此就可得出 2=AEC，又AEC=1+B，所以结论得证。（2）逆定理与中位线综合应用 例题 1 已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 E，F 为 BC 的中点，连结 EF。求证：EFAB，EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段 AE 既是BAC 的角平分 线又是 EC 边上的高，就想到把 AE 所在的等腰三角形构造 出来，因而就可添辅助线“分别延长 CE、AB 交于点 G”。简单证明：由逆定理得出AGC 是等腰三角形，点 E 是 GC 的
5、中点 EF 是BGC 的中位线 得证。例题 2 如图，已知：在ABC 中，BD、CE 分别平分ABC,ACB,AGBD 于 G，AFCE 于 F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求：FG 的长。分析：通过已知条件可以知道线段 CF 和 BG 满足逆 定理的条件，因此就想到了分别延长 AG、A F 来构造等腰三角形。简单证明：分别延长 AG、AF 交 BC 于点 K、H 由逆定理得出ABK 是等腰三角形 点 G 是 AK 的中点 同理可得点 F 是 AH 的中点 FG 是AHK 的中位线 由此就可解出 FG 的长。（3）逆定理与直角三角形的综合应用 例题 1 已知，如图，AD 为
6、RtABC 斜边 BC 上的高，ABD 的平分线交 AD 于 M，交 AC 于 P,CAD 的平分线交 BP 于 Q。求证：QAD 是等腰三角形。分析：由直角三角形的性质可知道AQM=90，由此线段 BQ 满足了逆定理 2 的条件，所 以 想到延长 AQ 交 BC 于点 N。简单证明：由添辅助线得出ABN 是等腰三角形 Q 点是 AN 的中点 在 RtAND 中，Q 是中点 QA=DQ,得证。例题 2 如图，在等腰ABC 中，C=90，如果点 B 到 A 的平分线 AD 的距离为 5cm,求 AD 的长。分析：已知条件满足了逆定理 2，所以延长 BE 和 AC，交 于点 F。简单证明：由所添辅
7、助线可知ABF 是等腰三角形 E 点是 BF 的中点 BF=2BE=10 再由ADC 和BFC 的全等 得出 AD=BF 结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语 句，满足定理条件，添加适当的辅助 线来构造等腰三角形，以达到解决问 题的目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直 平分线的应用）例题 1（2006 年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数 y=ax2+bx 的图 像开口向下，与 x 轴的一个交点为 B，顶点 A 在直线 y=x 上，O 为坐标原点。证明:AOB 是等腰直角三角形 分析：由抛物线的对称性可添辅助线-过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D 及直线 y=x 的性 质，可以知道A
8、OB 是等腰直角三角形。例题 2 如图，以ABC 的边 AB，AC 为边分别向形 外作正方形 ABDE 和 ACFG，求证：若 DFBC,则 AB=AC 分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：边，角以及对角线：边的相等，角的 相等并都等于 90 度，现要证明等腰三 角形，能与其最密切的想到是否也能构 造直角呢？于是就想到了添辅线 AH 简单证明：分别过点 A、D、F 作 AHBC，DIBC,FJBC,分别交 BC 于点 H，CB 的延 长线于 I，BC 的延长线于 J 由 DFBC，DI=FJ 又 AHCCJF（AAS），ABHBDI(AAS)HC=FJ,BH=DI BH=HC,得证。抓住已
9、知条件和结论的联系，（例 题 1 中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分 线之间的 内在联系，例题 2 中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的 垂线间的间接联系，）通 过获 取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练 把握，再进行对题目的重新 整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解 题有很大的帮助。（5）逆定理在作图中的应用 已知：线段 m，及，求作ABC，使ABC=，ACB=，且 AB+BC+CA=m 分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求 作图形的草图，再把相应的已知条件在图 上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用 尺规规范的做出。通过草图的分析，直接得到所
10、求三角形不行，由已知三边的和为 m 以及外角的性质我们 可以找到一顶点 A，再由垂直平分线与边的交 点找到另两个顶点 B 和 C。作法：1、画射线 OP，在 OP 上截取线段 OQ=m,2、画射线 OM，使MOP=1/2 3、画射线 QN，使NQO=1/2,交射线 OM 于点 A 4、分别作 AO、AQ 的垂直平分线，交 OQ 于 B，C 两点，ABC 就是所求三角形。等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的应用不但可以强 化学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开 拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思 想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生 拓宽思路，丰富联想，从而达到融会贯通的目的。