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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 档时，用表示比的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ）A、 B、C、 D、（2） 设函数的可去间断点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3（3） 设是圆域位于第K象限的部分,记则( ) A. B. C. D. （4） 设为正项数列,下列选项正确的是( )A.若，则收敛 B.若收敛，则C.若收敛，则存在常数,使存在D.若存在常数,使存在,则收敛（5） 设矩阵A.B.C均为n阶矩阵，若AB=C,则B可逆，
2、则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价（6） 若矩阵和相似的充分必要条件为（ ）A. B.为任意数C. D.，为任意数（7） 设是随机变量，且, 则则（ ） A. B. C. D.(8) 设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为：X0123PX-101P 则( )A. B. C. D.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线和在点（0,1）处有公共的切线，则=_.(10)设函数由方程确定，则=_.(11)求=
3、_.(12) 微分方程的通解为（13）设A=（）是三阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子势，若+=0，则=_.(14)设随机变量服从标准正态分布,则。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。（16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域由直线及围成.计算。（18）（本题满分10分）设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为.(是单价，单位：
4、元；是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I) 该商品的边际利润。(II) 当时的边际利润，并解释其经济意义。(III)使得利润最大的定价。（19）（本题满分10分） 设函数在上可导，且，证明：（I）存在，使得。（II）对于（1）中的，存在，使得。（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得,并求所有矩阵.（21）（本题满分11分）设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。（22） （本题满分11分）设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度为 （I）求的概率密度（II）的边缘密度（23
5、）（本题满分11分）设总体的概率密度为 其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本。（I）求的矩估计量。（II）求的最大似然估计量。2013年第三部分：数三真题及答案解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当时，但而不是故应该选（D）2函数的可去间断点的个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详解】当时，所以是函数的可去间断点，所以是函数的可去间断点，所以所以不是函数的可去间断点故应该选（C）设是圆域的第象
6、限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以，应该选（B）设为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）（A）若，则收敛；（B）若收敛，则； （C）若收敛则存在常数，使存在； （D）若存在常数，使存在，则收敛【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（）此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件，显然错误而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造设，均为阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩
7、阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【详解】把矩阵A，C列分块如下：，由于，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价应该选（B）6矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A） （B），为任意常数（C） （D），为任意常数【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等从而可知，即，为任意常数，故选择（B）7设是随机变量，且，则（A） （B）（C） （D）【详解】
8、若，则，故选择（A）8设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】，故选择（C）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9设曲线和在点处有切线，则 【详解】由条件可知所以10设函数是由方程确定，则 【详解】设，则，当时，所以11 【详解】12微分方程的通解为 【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数13设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= 【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而
9、可知，所以可能为或0但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以14设随机变量X服从标准正分布，则 【详解】 所以为三、解答题15（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式【详解】当时，所以，由于与是等价无穷小，所以16（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值【详解】由微元法可知；由条件，知17（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求【详解】18（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为（P是单价，单位：元，Q是销量，单位
10、：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义（3）使得利润最大的定价P【详解】（1）设利润为，则，边际利润为（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20（3）令，得19（本题满分10分）设函数在上可导，且，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在，使得【详解】证明（1）由于，所以存在，当时，有，又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得（2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，存在，使得20（本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C【详解】显然由可知，如果C存
11、在，则必须是2阶的方阵设，则变形为，即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得此时，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为，其中为任意常数21（本题满分11分）设二次型记（1）证明二次型对应的矩阵为 ；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 【详解】证明：（1）所以二次型对应的矩阵为 证明（2）设，由于则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；，所以为矩阵对应特征值的特征向量；而矩阵A的秩，所以也是矩阵的一个特征值故在正交变换下的标准形为 22（本题满分11分）设是二维随机变量，X的边缘概率密度为，在给定的条件下，Y的条件概率密度为（1）求的联合概率密度；（2）Y的的边缘概率密度【详解】（1）的联合概率密度：（2）Y的的边缘概率密度：23（本题满分11分）设总体X的概率密度为，其中为为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X），令，得的矩估计量（2）当时，似然函数为，取对数，令，得， 解得的极大似然估计量为