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1、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当时，与等价的无穷小量是（ ）. （2） 设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）. （4） 设函数连续，则二次积分等于（ ） （5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1
2、，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40（6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A） (B) （C） (D) （8）设矩阵，则A与B（ ）（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( ) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( )（A） (B)(C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分
3、，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则.（13）设是二元可微函数，则_.（14）微分方程满足的特解为_.（15）设距阵则的秩为_.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为_.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明：（）存在使得；（）存在使得（20）（本题满分10分
4、）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵.（）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（）求；（）求的概率密度.（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（）求参数的矩估计量；（）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母
5、填在后边的括号内）（7） 当时，与等价的无穷小量是（B）. （8） 设函数在处连续，下列命题错误的是： (D).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（9） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） . （10） 设函数连续，则二次积分等于（B） （11） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D） 10 20 30 40（12） 曲线渐近线的条数为（D） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A)（A
6、） (B) (C) (D) （8）设矩阵，则A与B（B）（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A)（A） (B)(C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则.（13）设是二元可微函数，则.（14）微分方程满足的特解为.（15）设距阵则的秩为1.(
7、16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为. 三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：（18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分其中【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即 利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是 由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而，故令作
8、换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明：（）存在使得；（）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点0在区间内再用罗尔定理，即.（20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的
9、公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵.（）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（）求矩阵B.【详解】：（）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得为B的属于2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设
10、B的属于1的特征向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为因而，矩阵B属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数.矩阵B属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数.（）由有令矩阵，则，所以那么 （23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（）求；（）求的概率密度.【详解】：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（）求参数的矩估计量；（）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（）记，则 ， 解出，因此参数的矩估计量为；（）只须验证是否为即可，而 ，而 ，于是 因此不是为的无偏估计量.