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1、 2013年全国硕士研究生入学考试数学一试题1.已知极限，其中k，c为常数，且，则（ ）A. B. C. D. 2.曲面在点处的切平面方程为（ ）A. B. C. D. 3.设，令，则（ ）A . B. C. D. 4.设，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则A. B. C. D 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ）A. B. 为任意常数 C. D. 为任意常数7.设是随机变量
2、，且，则（ ）A. B. C. D8.设随机变量,，给定，常数c满足，则( )9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则 。10.已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。11.设。12.。13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则A。14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则PYa+1|Ya=三解答题： （15）（本题满分10分）计算，其中f(x) (16)(本题10分)设数列an满足条
3、件：S（x）是幂级数（1）证明：（2）求（17）（本题满分10分）求函数.(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在（）存在19.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。（1） 求曲面的方程；（2） 求的形心坐标。20.（本题满分11分）设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。21.（本题满分11分）设二次型，记，。（1） 证明二次型f对应的矩阵为；（2） 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。22.（本题满分11分）设随机变量
4、X的概率密度为令随机变量（1） 求Y的分布函数；（2） 求概率.23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。（1） 求的矩估计量；（2） 求的最大似然估计量。2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)已知，其中为常数，且，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】因为(2) 曲面在点的切平面方程为 （ ）（A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】曲面在点处的法向量
5、为 故曲面在点处的切面方程为 即 ，选A(3) 设.令,则（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】 将作奇延拓，得周期函数，周期 则在点处连续，从而 故选C(4) 设为四条逆时针方向的平面曲线，记.则 （ ）（A） （B） （C） (D)【答案】D【解析】记，则，.用表示所围区域的面积，则有故选D (5)设均为阶矩阵，若,且可逆，则(A)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价 (B)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价 (C)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价 (D)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价 【答案】B【解析】将按列分块， 由于,故 即 即的列向量组可由A的列向量线性表示
6、由于可逆，故，A的列向量组可由的列向量组线性表示，选B (6) 矩阵与相似的充要条件为(A) (B) 为任意常数 (C) (D) 为任意常数【答案】B 【解析】题中所给矩阵都是实对称的，它们相似的充要条件是有相同的特征值。 由2是的特征值，知 解得，即 而时，的特征值是 此时两矩阵相似（与无关）(7) 设是随机变量，且,，,则 （ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由下图可知，.yx1 2 7/3O (8) 设随机变量，给定,常数满足，则 （ ）(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】，则 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
7、(9) 设函数由方程确定，则_【答案】1【解析】 时，方程两边对求导得所以 （10）已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解_【答案】【解析】 对应齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解(11) 设 （为常数），则=_【答案】【解析】， (12) 【答案】【解析】 (13) 设是3阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若 则=_【答案】【解析】方法一：取矩阵，满足题设条件，方法二：，则，整理得到，即或者.又因为，所以至少有一个，所以从而 (14) 设随机变量服从参数为1的指数分布，为常数且大于零，则_.【答案】【解析】三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸
8、指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)计算，其中【解析】，则,其中 所以原式(16)(本题满分10分)设数列满足条件：是幂级数的和函数(I)证明： (II)求的表达式【解析】 因为，所以所以（II），所以.又，所以, (17)(本题满分10分)求函数的极值【解析】令，解得 或 又所以为的极小值点，极小值为因为，所以不是的极值点. (18)(本题满分10分)设奇函数在上具有2阶导数，且，证明：（I）存在（0,1），使得.（II）存在，使得.【解析】（I）由于在上为奇函数，故，则令，则在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，存在，使得即（II）由于在上为奇函数，
9、则在上为偶函数，所以由（1）.令，则在上连续，在内可导，且，由罗尔定理存在，使得即. (19)(本题满分10分) 设直线过，两点，将绕轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为，(I)求曲面的方程，(II)求的球心方程【解析】(I)，所以直线L方程设上任一点由直线L上的点绕轴旋转一周得到，则又，所以方程为(II)设形心坐标，几何体关于对称， (20)(本题满分11分) 设,=，当为何值时，存在矩阵使得并求所有矩阵.【解析】设,由于,故,即. (I)由于矩阵存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换：方程组有解，故,，即，此时存在矩阵使得.当时，增广矩阵变为为自由变量，令，代为相应
10、齐次方程组，得.令，代为相应齐次方程组，得.故,令，得特解，方程组的通解为,所以.(21)(本题满分11分) 设二次型，记，（I） 证明二次型对应的矩阵为；（II） 若正交且为单位向量，证明在正交交换下的标准形为。【解析】证明：(I) ，其中，其中.所以二次型对应的矩阵为.(II)由于,与正交,故，,为单位向量,故,故,同样.,由于,故有特征值.,由于,故有特征值.=.所以,故.因此,在正交变换下的标准型为. (22)(本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为 ，令随机变量（I）求的分布函数。（II）求概率【解析】(I) 设的分布函数为，则当时，当时， 当时，所以（II）(23)(本题满分11 分)设总体的概率密度为 其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本(I)求的矩估计量(II)求的最大似然估计量【解析】(I)令，则，即的矩估计量为，其中(II)当时，解得的最大似然估计量