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1、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) .
2、(B) .(C) . (D) . （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） （11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (
3、D) 若线性无关，则线性无关. （13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）. （）.（）. （）. （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) 三 、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求() ；() .（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分） 证明：当时，. （18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与
4、直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；()；().（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样
5、本，记为样本值中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，所以. 故 . （2）设函数在的某邻域内可导,且，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 . （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 . （4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2
6、 .【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度 .则 .【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则 .（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 .二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）
7、设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. 【分析】 可以通过举反例及级
8、数的性质来判定.【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(). 或利用排除法： 取，则可排除选项（），（）； 取，则可排除选项（）.故（）项正确.（10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解为 ，故应选().【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)
9、若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 .消去，得 ,整理得 .（因为），若，则.故选（）.（12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选().（13）设为3阶
10、矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）. （）.（）. （）. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得 ，而 ，则有.故应选（）.（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 则必有(A) (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得， 则 ，即. 其中是标准正态分布的分布函数. 又是单调不减函数，则，即.故选(A).三 、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求() ；() . 【分析】第()问
11、求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含未定式极限. 【详解】() . () （通分） （16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 （17）（本题满分10分） 证明：当时，. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令，则 ，且.又 ，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率
12、与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】() 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数. 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记，则. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给
13、幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所给幂级数在处都收敛，且在 处都连续，所以在成立，即 ，.（20）（本题满分13分）设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以为列向量的矩阵为，则 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零行列式，所以为极大
14、线性无关组，且. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.() 求的特征值与特征向量；() 求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】 () 因为矩阵的各行元素之和均为3，所以 ，则由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量.对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知 ，即，而且线
15、性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为 ，其中为不全为零的常数.() 因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取 ， .再将单位化，得 ，令 ，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得 . （）由()知 ，所以 . ，则.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.() 求的概率密度；() ；() .【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I） 设的分布函数为，即，则1) 当时，；2) 当时， .3) 当时， .4) 当，.所以 .（II） ，而 ， ，所以 .() .（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（）因为，令 ，可得的矩估计为 . （）记似然函数为，则. 两边取对数得 ，令，解得为的最大似然估计.