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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选（2）设函数，其中为正整数，则（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】： 所以（3）设函数连续，则二次积分=（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】：（B）【解析】：由解得的下界为，由解得的上界为.故排除答案（C）（D）. 将极坐标系下的二重积分化为型区域的二重积分得到被积函数为
2、，故选（B）.（4）已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】：（D）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的级数的收敛性结论. 绝对收敛可知；条件收敛可知，故答案为（D）（5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）（6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。（7）设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：（D）【解析】：由
3、题意得， ，其中表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是，故根据二重积分的几何意义，知，故选（D）.（8）设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】：（B）【解析】：从形式上，该统计量只能服从分布。故选。具体证明如下：，由正态分布的性质可知，与均服从标准正态分布且相互独立，可知。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）_。【答案】：【解析】：=所以=（10）设函数，求_。【答案】：【解析】：由的表达式可知，可知（11） 函数满足，则【答案】：【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即，所以，故（12） 由曲线
4、和直线及在第一象限中所围图形的面积为？【答案】：【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以（13）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则_。【答案】：-27【解析】：由于，故，所以，.（14）设是随机事件，互不相容，,则_。【答案】：【解析】：由条件概率的定义，其中，由于互不相容，即，又，得，代入得，故.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算【解析】：（16）（本题满分10分）计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域。yO 1 x【解析】：由题意知，区域，如图所示所以（17
5、）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(万元)2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。【解析】：1）设成本函数为，由题意有：，对x积分得，再对y求导有，再对y积分有，所以，又，故，所以2）若，则，代入到成本函数中，有所以，令，得，这时总成本最小3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边
6、际成本为，表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。（18）（本题满分10分）证明：【解析】：令，可得当时，有，所以，故，而，即得所以。当，有，所以，故，即得可知，（19）（本题满分10分）已知函数满足方程及1）求表达式2）求曲线的拐点【解析】：1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故2）曲线方程为，则，令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。当时，可知；当时，可知。可知是唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。（20）（本题满分10分）设，（）求（）已知线性方程
7、组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：（）（）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时, ，显然不符，故.（21）（本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1）由可得，2） 则矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，（22）（本题满分10分）已知随机变量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：（1）；（2）与.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（1）（2），其中,所以，,.（23）（本题满分10分）设随机变量和相互独立，且均服从参数为的指数分布，.求（1）随机变量的概率密度；（2）.【解析】：（1）概率密度为分布函数为和同分布.由，而独立，故上式等于故（2）同理，的概率密度为：，所以.