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1、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是 （A） （B） （C） （D） （2）曲线的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B) （C） （D） （4）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则 . （C）若存在，则 （D）若存在，则. （
2、5）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是： (A) 若 ，则必收敛. (B) 若 ，则必发散 (C) 若 ，则必收敛. (D) 若 ，则必发散. （6）设曲线（具有一阶连续偏导数），过第象限内的点和第象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是 （A）. （B）（C）. （D）. （7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) (B) (C) .(D) . （8）设矩阵，则与 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的
3、概率为 （A）. （B）. （C）. （D） （10）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为 (A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） =_.（12） 设是二元可微函数，则 _.（13） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.（14） 设曲面，则 （15）设矩阵，则的秩为 . （16）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 .三、解答题：1724小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分11分)求函数在
4、区域上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分） 计算曲面积分 ，其中为曲面 的上侧.（19） (本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.（20） (本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数满足.（）证明：；（II）求的表达式.（21） (本题满分11分) 设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵. （23） (本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为 .（I）
5、求；(II) 求的概率密度.（24） (本题满分11分) 设总体的概率密度为 为来自总体的简单随机样本，是样本均值.（I）求参数的矩估计量；（II）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学试题答案解析（数学一）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当时，与等价的无穷小量是 (B)A. B. C. D.(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 (D)A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2，0
6、，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 (C)A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若存在，则f（0）=0 B. 若 存在，则f（0）=0 C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,.n, 则下列结论正确的是(D)A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第象限内
7、的点M和第象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B)A. B. C. D. （7）设向量组，线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)（A） （B） （C） （D）（8）设矩阵A=，B=,则A于B， (B)(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C)（A）(B) (C) (D) (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，分别表示X，Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度为 (A
8、)（A） (B) (C) (D)二填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（11） .（12）设为二元可微函数，则.(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y. (14)设曲面：，则. (15)设矩阵A，则的秩为.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【详解】：【详解】【详解】证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分
9、别存在一点0在区间内再用罗尔定理，即【详解】(1) 将已知条件中代入到微分方程中，整理即可得到：(2) 解题如下【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.【详解】：（）可以很容易验证，于是 于是是矩阵
10、B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得为B的属于2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为（）令矩阵，则，所以 (23)设二维变量的概率密度为 求；求的概率密度.【详解】：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是(24)设总体的概率密度为 ,是来自总体的简单随机样本，是样本均值求参数的矩估计量；判断是否为的无偏估计量,并说明理由.【详解】：（）记，则 ， 解出，因此参数的矩估计量为；（）只须验证是否为即可，而 ，而 ，于是 因此不是为的无偏估计量.