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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数则的零点个数（ ）0.1. 2.3.（2）函数在点处的梯度等于（ ）. . . .（3）在下列微分方程中，从（为任意常数）为通解的是（ ）.（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（5）设为阶非零矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变
2、换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数（ ）0. 1.2. 3. （7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . （8）随机变量，且相关系数，则（ ） . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程满足条件的解是. （10）曲线在点处的切线方程为.（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.（12）设曲面是的上侧，则.（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则的非零特征值为.（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写
3、出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限.(16)（本题满分12分） 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.(17)（本题满分12分）已知曲线，求点距离面最远点和最近的点.(18)（本题满分12分）函数连续，证明可导，且.(19)（本题满分12分），用余弦级数展开，并求的和(20)（本题满分9分），为的转置，为的转置（1）证；（2）若线性相关，则.（21）（本题满分9分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解，求（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分9分）设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记（1）求（2）求
4、的概率密度（23）（本题满分9分） 是总体为的简单随机样本.记，（1）证 是的无偏估计量.（2）当时 ，求.2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设函数，则的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3【答案】应选(B).【详解】显然在区间上连续，且，由零点定理，知至少有一个零点又，恒大于零，所以在上是单调递增的又因为，根据其单调性可知，至多有一个零点故有且只有一个零点故应选(B).（2）函数在点(0,1)处的梯度等于【 】(A)
5、(B) . (C) . (D) . 【答案】 应选(A).【详解】因为所以，于是.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】 应选(D).【详解】由，可知其特征根为，故对应的特征值方程为所以所求微分方程为应选(D).（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【 】(A) 若收敛，则收敛 (B) 若单调，则收敛 (C) 若收敛，则收敛. (D) 若单调，则收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛故应选(B).（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵若，则【
6、】 则下列结论正确的是：(A) 不可逆，则不可逆. (B) 不可逆，则可逆.(C) 可逆，则可逆. (D) 可逆，则不可逆. 【答案】应选(C).【详解】故应选(C).，故，均可逆故应选(C).（6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为故的正特征值个数为1故应选(B).（7） 设随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为【 】(A) . (B) . (C) . (D) .【答案】应选(A)【详解】故应
7、选(A)（8）设随机变量, , 且相关系数，则【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】应选 (D)【详解】用排除法设由，知，正相关，得排除（A）和（C）由，得，从而排除(B).故应选 (D)二、填空题：(914小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)（9）微分方程满足条件的解是 .【答案】 应填【详解】由，得两边积分，得代入条件，得所以（10）曲线在点的切线方程为 .【答案】 应填【详解】设，则，于是斜率故所求得切线方程为（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为 .【答案】 【详解】由题意，知的收敛域为，则的收敛域为所以的收敛域为(12)设曲面是的上侧，则
8、.【答案】 【详解】作辅助面取下侧则由高斯公式，有(13) 设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则的非零特征值为_.【答案】应填1【详解】根据题设条件，得记，因线性无关，故是可逆矩阵因此，从而记，则与相似，从而有相同的特征值因为，故的非零特征值为1(14) 设随机变量服从参数为1的泊松分布，则_【答案】应填.【详解】因为服从参数为1的泊松分布，所以从而由得故三、解答题：(1523小题，共94分. )(15)(本题满分10分)求极限【详解1】(或，或)【详解2】（或）（16）(本题满分9分)计算曲线积分，其中是曲线上从到的一段【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算【详解2】添加辅助线，按照Gr
9、een公式进行计算设为轴上从点到的直线段是与L围成的区域因为故【详解3】令对于，记因为，故与积分路径无关对于，故 17（本题满分11分）已知曲线求上距离面最远的点和最近的点【详解1】 点到面的距离为，故求上距离面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数在条件下的最大值点和最小值点构造拉格朗日函数，由 得，从而解得或根据几何意义，曲线上存在距离面最远的点和最近的点，故所求点依次为和【详解2】 点到面的距离为，故求上距离面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数在条件下的最大值点和最小值点构造拉格朗日函数，由 得，从而解得或根据几何意义，曲线上存在距离面最远的点和最近的点，故所求点依次为和【详解3】由得代
10、入，得所以只要求的最值令，得，解得从而或根据几何意义，曲线上存在距离面最远的点和最近的点，故所求点依次为和（18）(本题满分10分)设是连续函数，（I）利用定义证明函数可导，且；（II）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数（I）【证明】【注】不能利用LHospital法则得到(II) 【证法1】根据题设，有，当是以2为周期的周期函数时，从而 因而取得，故 即是以2为周期的周期函数【证法2】根据题设，有，对于，作换元，并注意到，则有，因而 于是即是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有，当是以2为周期的周期函数时，必有事实上，所以取得，所以即是以2为周期的周期函数(1
11、9)(本题满分11分)将函数展开成余弦级数，并求级数的和【详解】将作偶周期延拓，则有所以，令x=0，有又，所以（20）(本题满分10分)设为3维列向量，矩阵，其中分别是得转置证明：（I） 秩；（II） 若线性相关，则秩【详解】（I）【证法1】【证法2】因为，为矩阵，所以因为为3维列向量，所以存在向量，使得 于是 所以有非零解，从而【证法3】因为，所以为矩阵又因为，所以故 （II）【证法】由线性相关，不妨设于是(21) (本题满分12分)设元线性方程组，其中 ， （I）证明行列式；（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解【详解】（I）【证法1
12、】数学归纳法记以下用数学归纳法证明当时，结论成立当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第一行展开得故 【注】本题（1）也可用递推法由得，于是（I）【证法2】消元法记（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为所以，（III）【详解】 当时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为，其中为任意常数(22) (本题满分11分) 设随机变量与相互独立，的概率密度为，的概率密度为记（I） 求；（II）求的概率密度.（I）【详解】 解法1解法2 （II）解法1解法2（23）(本题满分11分) 设是来自总体的简单随机样本，记，（1）证明是的无偏估计量；（2）当时，求.【详解1】（1）首先是统计量其次对一切成立因此是的无偏估计量【详解2】（1）首先是统计量其次，对一切成立因此是的无偏估计量（2）解法2根据题意，有，于是，所以