2009年北京大学自主招生试题数学部分1262.pdf

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1、2009 年北京大学自主招生试题数学部分 1,设圆及其内接四边形 ABCD。已知 AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径。2,设等差数列,其公差为正数。已知 29,41,57 都是其中的项,证明 2009 也是其中的项。3,问:是否存在实数 x 使得xtan3 和xcot3 都是有理数。4,不等式12coscosxbxa对任意实数x 都成立,求 a+b 的最大值。5,有 333 人考试,一共答对了 1000 道题。答对题数小于等于 3 为不及格,答对题数大于等于 6为优秀。已知不是所有人答对题数的奇偶性都相同,问:不及格的人多,还是优秀的多。2008 年北京大学自主招生试题数学部分

2、 1,证明:边长为 1 的正五边形的对角线长为251。2,六边形 AFBDCE,满足 EA=AF,FB=BD,DC=CE,及A+B+C=D+E+F。证明:三角形 ABC 面积为六边形的一半。3,两组实数 a,b,c 和 x,y,z 满足 a+b+c=x+y+z,ab+bc+ca=xy+yz+zx,及 mina,b,c小于等于minx,y,z。证明 maxa,b,c同样小于等于 maxx,y,z。4,在排球单循坏赛中,南方球队比北方球队多 9 支。最终,南方球队的总得分是北方球队的 9倍。证明:冠军是一支南方球队(胜得 1 分,败 0 分)。5,设空间直角坐标系 O-xyz。在 xOy 平面上的图形220 xy绕 y 轴旋转,得到不透光的几何体 B。在点 P(1,0,1)处有一光源,而在 xOy 平面上有一圆周以原点为圆心。圆周被照亮部分的长度为 2,求未被照亮部分的长度。

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