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1、矩形矩形的折叠问题的折叠问题（人教版初二数学（人教版初二数学18.2.1习题课习题课）广州市美华中学广州市美华中学数学科数学科 李俊李俊 几何研究的对象是：几何研究的对象是：图形的形状、大小、图形的形状、大小、位置关系；位置关系；主要培养三方面的能力：主要培养三方面的能力：思维分析能力、思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；空间想象能力和逻辑推理能力；折叠型问题的特点是：折叠型问题的特点是：折叠后的图形具折叠后的图形具有轴对称图形的性有轴对称图形的性质；质；涉及的数学思想方法：涉及的数学思想方法：数形结合、方程思数形结合、方程思想。想。问题特点：问题特点：一、在一、在“大小大小”方面的应用
2、；方面的应用；二、在二、在“位置位置”方面的应用。方面的应用。根据折叠位置的不同有：根据折叠位置的不同有：根据应用研究角度的不同有：根据应用研究角度的不同有：E 点在边上点在边上 点在图形内点在图形内 点在图形外点在图形外 折叠型问题在折叠型问题在“大小大小”方面的应用，通常有求方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。系等问题。一、在一、在“大小大小”方面的应方面的应用用1、关于线、关于线段与线段的大小关段与线段的大小关系的应用系的应用例例1:如图，折叠矩形的一边如图，折叠矩形的一边AD，点，点D落在落在BC边上点边
3、上点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，则，则EC的长是的长是 。解解:设设EC=x，则，则DE=8-x，由轴对称可，由轴对称可知：知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因，又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。在。在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解之得，解之得x=3x8-x8-x1010810642、关于线、关于线段段与周长、面与周长、面积积间变间变化关化关系的应用系的应用例例2:将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示；折成如图所示；已知已知AB=3cm，BC=5cm，则重叠部则重叠部分分DEF的面积为的面积为 。ABAED(
4、B)CF解解:设设AE=x，则则DE=5-x，由轴对称可，由轴对称可知知：AE=AE=x，AB=AD=3，在，在RtADE中中，32+x2=(5-x)2，解之，解之得得x=1.6，故，故DE=3.4，又因为，又因为DEF中中DE边上的高等于边上的高等于3，所以面积为，所以面积为5.1cm。33xx5-x5二、在二、在“位置位置”方面的应用方面的应用例例3：将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示，延长折成如图所示，延长CE交交AD于于H，连结，连结GH。求证：。求证：EF与与GH互相垂直平分。互相垂直平分。证明：证明：由题意知由题意知FHGE，FGHE，。又又 ，四边形四边
5、形 是是 ，FE与与GH互相垂直平分。互相垂直平分。FGEH是平行四边形是平行四边形FG=FHFGEH菱形菱形练习练习1:将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示；已知折成如图所示；已知 EFG=55，则则 FGE=。练习练习2：如图，矩形如图，矩形ABCD沿沿BE折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上边上的的F点处，如果点处，如果 ABF=60，则则 CBE等于（等于（）。）。(A)15 (B)30 (C)45 (D)60精选练习：精选练习：1、关于计算角度的：、关于计算角度的：练习练习4:如图，将矩形如图，将矩形ABCD纸片纸片对折，设折痕为对折，设折痕为MN，再把，再
6、把B点叠点叠在折痕线在折痕线MN上，若上，若AB=3，则，则折痕折痕AE的长为（的长为（）。）。(A)3 3/2 (B)3 3/4 (C)2 (D)2 3E练习练习3：如图，矩形纸片如图，矩形纸片ABCD，若把，若把ABE沿折痕沿折痕BE上翻，上翻，使使A点恰好落在点恰好落在CD上，此时，上，此时，AE:ED=5:3，BE=，求矩形求矩形的长和宽。的长和宽。2、关于计算线段长度的：、关于计算线段长度的：练习练习5：如图如图，将矩形，将矩形ABCD折叠，使点折叠，使点B落在落在AD上，上，落点记为落点记为E，E在在AD边上，这时折痕与边边上，这时折痕与边BC或者边或者边CD交于点交于点F，然后展开铺平，则以，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的为顶点的BEF称为矩形称为矩形ABCD的的“折痕三角形折痕三角形”。（1）任意一个）任意一个“折痕折痕BEF”一定是一个一定是一个 三角三角形形yAEDC(B)OFx图图3、关于线段与位置变化关系的：、关于线段与位置变化关系的：（2）如图）如图，AB=2，BC=4，当顶点，当顶点E位于位于AD的的中点时，求点中点时，求点F的坐标。的坐标。yAEDC(B)OFx图图参考答案参考答案：（：（1）70（2）A（3）长为）长为10，宽为，宽为8（4）C（5）等腰，（）等腰，（2,0）