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1、行列式的行列式的每个元素每个元素当当特别特别都有一个都有一个余子式余子式元素元素 a a1212的的余子式余子式元素元素 a a4444的的余子式余子式因为因为一个元素一个元素它的余子式它的余子式的值的值所以所以该元素该元素的值的值改变改变后，后，一定一定不会改变不会改变代数代数余子式余子式 的值的值一定一定不会改变不会改变不在不在它的余子式内，它的余子式内，为为偶数偶数时时和和代数余子式代数余子式.第1页/共19页定理定理3 3那末那末第第i i行行中中如果行列式的如果行列式的只有元素只有元素不不等于等于零零，乘以乘以 它的它的代数余子式代数余子式，即即这行列式这行列式等于等于例如例如特殊情
2、况：特殊情况：第第1 1行行中中只有元素只有元素不不等于等于零零，第2页/共19页例例1 1 计算行列式计算行列式第3页/共19页例例2第4页/共19页2828页页7 7（2 2）计算计算解解第第n n行减去第行减去第n-1n-1行行第第n-1n-1行减去第行减去第n-2n-2行行第第4 4行减去第行减去第3 3行行第第3 3行减去第行减去第2 2行行第第2 2行减去第行减去第1 1行行第5页/共19页其中28页7（3）计算解第6页/共19页例例5 5 范德蒙范德蒙 行列式行列式证明证明 略略下面计算下面计算4 4阶阶 范德蒙范德蒙行列式行列式第7页/共19页第第4 4 行行减去减去倍倍第第3
3、 3 行的行的第第3 3 行行减去减去倍倍第第2 2行的行的第第2 2 行行减去减去倍倍第第1 1行的行的范德蒙范德蒙 行列式行列式计算计算4 4阶阶令令得到得到课本课本2525页页1 1（5 5）第8页/共19页的根为课本课本2525页页1 1（5 5）设第9页/共19页2727页页2 2（6 6）解解 先将第先将第四四行行减去减去第第三三行的行的 倍倍第第三三行行减去减去第第二二行的行的a a倍倍第第二二行行减去减去第第一一行的行的a a倍倍=第10页/共19页定理定理二、二、行列式行列式按按行行（列列）展开法则）展开法则分别分别乘以乘以它的它的任一行任一行它们的它们的代数代数余子式，余子
4、式，再再相加相加行列式行列式等于等于的的每个元素每个元素第11页/共19页推论推论证证:可以为可以为1 1、x x、a ai i1 1 令令第第i i 行和第行和第j j 行相同行相同同理同理按第按第 j j 行展开行展开代数代数余子式，余子式，行列式中行列式中它们的余子式它们的余子式 和和代数代数余子式余子式 不会改变不会改变等号等号左右两边左右两边的的a aj j1 1相相加加之和之和等于零等于零分别分别乘以乘以第第i i 行行第第j j 行行行列式行列式表示表示同一个数同一个数另一行另一行的的任一行任一行的的元素元素第第i i 列元素列元素第第j j 列代数余子式列代数余子式元素元素改变
5、改变后，后，第第 j j 行行第12页/共19页2525页页1 1（7 7）设设A Aij ij表示表示左边左边=0第第4 4列列的的代数余子式代数余子式或第或第4 4列列展开展开第第1 1列列的元素的元素元素元素a aij ij的的 代数余子式代数余子式，则则分别乘以分别乘以第13页/共19页2222页例页例7,287,28页页7 7（4 4）第14页/共19页2828页页7(5)7(5)计算计算解解第15页/共19页计算行列式的值解解 按第一行展开按第一行展开原行列式原行列式=解法二解法二 第二第二行行乘以乘以a a加到第一加到第一行行原式原式=第二第二列列乘以乘以d d加到第三加到第三列
6、列第16页/共19页25页1（6）设 x1,x2,x3则行列式是 x3+px+q=0的三个根，第17页/共19页记记三、小节三、小节行列式行列式等于等于定理定理3 3推论推论那末该行列式那末该行列式等于等于代数余子式后，代数余子式后，相加相加之和之和等于等于零零第第i i行行中中另一行另一行的的代数代数余子式余子式，如果行列式的如果行列式的定理定理4 4a aij ij即即它的任一行的各元素它的任一行的各元素 分别分别乘以乘以它们它们的的再相加再相加之和之和只有元素只有元素a ai ij j不不等于等于零零,乘以乘以 它的它的代数余子式代数余子式，行列式行列式分别分别乘以乘以任一行任一行的的元素元素第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页