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1、一、系统的状态变量分析法简介一、系统的状态变量分析法简介 1、系统的状态空间描述：、系统的状态空间描述：用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、输出之间的关系。状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。对n n阶系统，状态方程是由n n个一阶微分方程（差分方程）组成的方程组。输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/方程。对n n阶系统，若有q q个输出，输出方程是由q q个代数方程组成的方程组。第第8 8章章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析第第8 8章章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析第1页/共86页2、系统状态方程的解、系统状态方程的解 A.连续系统状
2、态方程、输出方程的解：（1）时域解 （2）s 域解 B.离散系统状态方程、输出方程的解：（1）时域解 （2）z 域解二、状态空间分析法的应用及优点：二、状态空间分析法的应用及优点：1 1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。2 2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析，也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。3 3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。引言引言第2页/共86页 8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：一、连续系统的状态变量、状态方程、输
3、出方程：1、状态变量：、状态变量：（1 1）初始状态：设初始时刻为）初始状态：设初始时刻为t0 t0时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电 感元件上电流iL(t0)。n阶系统有n个初始状态。初始状态的一般定义：初始状态的一般定义：系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数。知道 了这组数和区间t0，t上的输入，就可以完全确 定系统在t时刻的输出。表示表示：n阶系统的初始状态表示为：8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述第3页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。例：第4页/共86页8.1 8.1 系统的
4、状态空间描述系统的状态空间描述（2）状态变量：表示状态随时间变化的一组变量称表示状态随时间变化的一组变量称状态变量状态变量。则系统的状态变量任一时刻t的状态为：第5页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（3）状态矢量、状态空间：状态矢量状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(t)称状态矢量。状态空间状态空间：状态矢量X(t)所在的空间称状态空间。第6页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描系统的状态空间描述述例：2、状态方程和输出方程：（1 1）状态方程：）状态方程：第7页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描系统的状态空间描述述由KCL和KVL得：第8页/共86
5、页上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述第9页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述状态方程：状态方程：状态方程的一般形式状态方程的一般形式：设n阶系统的状态变量为：系统有p个输入：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。则状态方程为：第10页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述令令则则 矩阵形式：矩阵形式：第11页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述例：（2 2）输出方程：）输出方程：第12页/共8
6、6页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述由KCL和KVL得：上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：第13页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述输出方程：输出方程：输出方程一般形式：输出方程一般形式：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。设设n阶系统有阶系统有n个状态、个状态、p个输入、个输入、q个输出，则输出方程为：个输出，则输出方程为：第14页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述矩阵形式：矩阵形式：令令则第15页/共86页二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：
7、二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（1）初始状态：设初始时刻 ，对n n阶系统，初始状态通常指：时刻状态的一般定义：时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和 区间上的输入，就可完全确定系统在K时刻的输出。1 1、状态变量：、状态变量：第16页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述（2）状态变量、状态矢量：状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k)称状态矢量。表示：对n阶系统，状态变量表示为：第17页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述2 2、状
8、态方程和输出方程：、状态方程和输出方程：例例1.1.设系统的方程为则有设第18页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述矩阵形式：式称系统的状态方程；式称系统的输出方程。第19页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述离散系统状态方程、输出方程的一般形式：状态方程状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分 方程组。一般形式一般形式：n n阶系统，p p个输入。第20页/共86页8.1 8.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述输出方程输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的：描述系统输出、输入、状态之间关系的 代数方程组。代数方程组。一般形
9、式一般形式：n阶系统，阶系统，p个输入，个输入，q个输出。个输出。第21页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立一、连续系统状态方程的建立：一、连续系统状态方程的建立：（1 1）状态变量的选择）状态变量的选择:1、RLC系统状态方程的建立系统状态方程的建立直观编写法：直观编写法：例：例：第22页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第23页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立（2 2）直观编写法步骤）直观编写法步骤:例：例：选状态变量选状态变量:设输出为设输出为:列状态方程列状态方程:第一步第一步:第
10、24页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第二步第二步:第三步第三步:第25页/共86页列输出方程列输出方程：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立矩阵形式矩阵形式：第26页/共86页2 2、由系统微分方程编写状态方程：、由系统微分方程编写状态方程：（1）选择状态变量：选择状态变量：令令8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立列出系统的状态方程和输出方程。列出系统的状态方程和输出方程。例例1 1：已知系统方程为已知系统方程为解解：第27页/共86页（2）状态方程：状态方程：（3）输出方程：输出方程：矩阵形式：矩阵形式：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第2
11、8页/共86页（1）选择状态变量：）选择状态变量：令令引入引入 ：18.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立例例2.已知系统方程为已知系统方程为列出系统状态方程和输出方程。列出系统状态方程和输出方程。式代入原方程得：式代入原方程得：21第29页/共86页（2）列状态方程：列状态方程：（3）列输出方程：列输出方程：矩阵形式：矩阵形式：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第30页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立3、由系统框图、流图编写状态方程：、由系统框图、流图编写状态方程：例：某LTILTI二阶系统框图和流图如图所示，列写状态方程和输出方程。(1)选状态变量：选
12、状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；选积分器输出为状态变量，如图所示；第31页/共86页(2)状态方程：状态方程：(3)输出方程：输出方程：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立矩阵形式：矩阵形式：第32页/共86页(1)状态变量选择：状态变量选择：(2)状态方程：状态方程：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立例例1：已知系统方程为已知系统方程为列状态方程和输出方程。列状态方程和输出方程。二、离散系统状态方程、输出方程的编写：二、离散系统状态方程、输出方程的编写：1 1、由差分方程编写：、由差分方程编写：令令解：解：第33页/共86页(3)输出方程：输出方程：矩阵形式：矩
13、阵形式：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第34页/共86页(1)状态变量选择：状态变量选择：(2)状态方程：状态方程：(3)输出方程：输出方程：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立例例2：已知系统方程为已知系统方程为列写系统状态方程和输出方程。列写系统状态方程和输出方程。令令解：解：第35页/共86页1（1）状态变量的选择：）状态变量的选择：22式代入式代入 式得：式得：1令令8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立解：解：例例3：已知系统方程为：已知系统方程为列状态方程、输出方程。列状态方程、输出方程。第36页/共86页(2)状态方程：状态方程：(3)输出方程：输出方
14、程：8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立第37页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立2 2、由系统框图、信号流图编写状态方程、由系统框图、信号流图编写状态方程例：已知系统框图、流图如图所示，列写状态方程和输出方程。(1)选状态变量：选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；选积分器输出为状态变量，如图所示；第38页/共86页8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立(2)状态方程：状态方程：(3)输出方程：输出方程：矩阵形式：矩阵形式：第39页/共86页8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解一、矩阵函数一、矩阵函数:8.3 8.3 连续系统状态
15、方程的解连续系统状态方程的解1.1.矩阵函数的定义矩阵函数的定义:定义矩阵函数定义矩阵函数 ，设设A为为n阶方阵，对于收敛的幂级数阶方阵，对于收敛的幂级数A类比x第40页/共86页8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解2.2.矩阵指数函数的定义矩阵指数函数的定义:第41页/共86页3.3.矩阵的导数、积分和卷积矩阵的导数、积分和卷积:(2)卷积卷积:8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解(1)导数、积分导数、积分:例：第42页/共86页4.矩阵运算的几个定理：设设A、B为为n阶方阵。阶方阵。（1）（2）（3）（4）设）设X为为n维列向量，维列向量，A为为n阶
16、方阵，则阶方阵，则8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解（6）设设A、P为为n阶方阵，阶方阵，P为为非奇异阵（非奇异阵（det（P）0），则，则（5）设）设A为方阵，则为方阵，则 恒有逆，且恒有逆，且 。第43页/共86页二、状态方程的时域解：二、状态方程的时域解：状态方程：状态方程：18.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解1 式两边乘以式两边乘以 ，得，得根据矩阵函数运算的定理（根据矩阵函数运算的定理（4），上式可写成：），上式可写成：21 1、状态方程的时域解：、状态方程的时域解：对对n阶系统。阶系统。第44页/共86页2对对 式两边积分，得：式两边积分
17、，得：8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解设设 ，得：，得：设设 称称状态转移矩阵状态转移矩阵。第45页/共86页则则零输入分量零输入分量零状态分量零状态分量8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第46页/共86页2.2.输出方程的解：输出方程的解：把状态方程的解代入输出方程，得：把状态方程的解代入输出方程，得：引入引入p阶对角阵阶对角阵 ：8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解输出方程为：输出方程为：则则第47页/共86页零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应冲激响应，冲激响应，,其余输入为零时，其余输入为零时，对应的冲激响应对应的冲
18、激响应。8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第48页/共86页3.3.的计算：的计算：(1)n阶方阵阶方阵A的特征方程、特征根：的特征方程、特征根：(2)凯莱凯莱哈密顿定理：哈密顿定理：8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解特征多项式：特征多项式：特征根：特征根：特征方程特征方程：任何方阵任何方阵A，恒满足它的特征方程。，恒满足它的特征方程。设设则则 特征方程的根特征方程的根第49页/共86页(3)的计算：的计算：8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解设n阶方阵A的特征根为第50页/共86页根据根据A的特征方程和凯莱的特征方程和凯莱哈密顿
19、定理可以证明：哈密顿定理可以证明：由由A的的n个特征根和个特征根和 的展开式确定系数的展开式确定系数 ，代入，代入 的展开式，就可求得的展开式，就可求得 。8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第51页/共86页的计算步骤：的计算步骤：（1）A的特征根为单根：的特征根为单根：第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根 ，i=1,2,n.第二步：第二步：由由n个特征根建立以下个特征根建立以下n个方程：个方程：第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第四步：第四步：第52页/共86页8.3 8.3 连续系统
20、状态方程的解连续系统状态方程的解（2）A的特征根有重根：设的特征根有重根：设1为为m重根，另有重根，另有n-m个单根。个单根。第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根第二步：第二步：由特征根由特征根i建立以下建立以下n个方程：个方程：第53页/共86页8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求第四步：第四步：第54页/共86页例例1:解:8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解解方程组,得:第55页/共86页8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第56页/共86页8.3 8.3 连续系统
21、状态方程的解连续系统状态方程的解例例2:解:解方程组,得:第57页/共86页8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第58页/共86页状态方程求解状态方程求解:Step1:求求Step2:求求Step3:求求Step4:求求8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解4.4.第59页/共86页输出方程求解输出方程求解:Step1:求Step2:求Step3:求Step4:求Step5:求三、状态方程、输出方程的三、状态方程、输出方程的s域解域解:1 1、状态方程的、状态方程的S S域解域解:状态方程状态方程:8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第
22、60页/共86页s s域解:根据单边拉氏变换的时域微分性质,对状态方程两边 取拉氏变换,得:8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第61页/共86页2.2.输出方程的输出方程的s s域解域解:输出方程输出方程:s域解域解:把把X(s)代入上式代入上式,得得:8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第62页/共86页状态方程、输出方程的状态方程、输出方程的s域解步骤域解步骤:状态方程状态方程s域解域解:Step2:求求Step3:求求Step4:求求Step1:求求Step5:求求8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解第63页/共86页状态方程
23、、输出方程的状态方程、输出方程的s域解步骤域解步骤:输出方程输出方程s 域解域解:Step1:求求Step2:求求Step3:求求8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解Step4:求求Step5:求求Step6:求求第64页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解一、状态方程、输出方程的时域解一、状态方程、输出方程的时域解:1.1.状态方程的解状态方程的解:n:n阶系统阶系统,P,P个输入个输入.设初始时刻设初始时刻 ,初始状态初始状态用递推法得用递推法得:状态方程状态方程:第65页/共86页设
24、设 则则(零输入分量零输入分量)(零状态分量零状态分量)2.2.输出方程的解输出方程的解:n阶系统阶系统,P个输入个输入,q 个输出个输出.输出方程输出方程:把把X(k)代入输出方程代入输出方程,得得:8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第66页/共86页冲激响应冲激响应,单独作用时单独作用时,输出输出 的单位脉冲响应的单位脉冲响应.8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第67页/共86页3.3.的计算：的计算：8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解由由A的的n个特征根和个特征根和 的展开式确定系数的展开式确定系数 ，代入，代入 的展开式
25、，就可求得的展开式，就可求得 。第68页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根 ，i=1,2,n.第二步：第二步：由由n个特征根建立以下个特征根建立以下n个方程：个方程：第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求第四步：第四步：A的特征根为单根：的特征根为单根：第69页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解 A的特征根有重根：设的特征根有重根：设1为为m重根，另有重根，另有n-m个单根。个单根。第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根第二步：第二步：由特征根由特征根i建
26、立以下建立以下n个方程：个方程：第70页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求第四步：第四步：第71页/共86页例例1:解:8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解解方程组,得:第72页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第73页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解例例2:解:解方程组,得:第74页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第75页/共86页状态方程时域解步骤状态方程时域解步骤:Step1:求求Step2
27、:求求Step3:求求Step4:求求8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解输出方程的解输出方程的解:Step1:求求Step2:求求Step3:求求Step4:求求Step5:求求第76页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解二、状态方程、输出方程的二、状态方程、输出方程的z域解域解:1 1、状态方程的、状态方程的z域解域解:状态方程状态方程:单边单边z变换的左移性质变换的左移性质:由左移性质，对状态方程两边取由左移性质，对状态方程两边取z变换，得变换，得:第77页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解2 2、输出方程
28、的、输出方程的z域解域解:输出方程输出方程:方程两边取单边方程两边取单边z变换，得变换，得:把把X(z)代入上式代入上式,得得:第78页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解状态方程、输出方程的状态方程、输出方程的z域解步骤域解步骤:状态方程状态方程z域解域解:Step2:求求Step3:求求Step4:求求Step1:求求Step5:求求第79页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解输出方程输出方程z域解域解:Step2:求求Step3:求求Step4:求求Step1:求求Step5:求求Step6:求求第80页/共86页8.4 8.4
29、 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解8.5 8.5 系统稳定性判别系统稳定性判别一、连续系统稳定性判别一、连续系统稳定性判别:1、矩阵、矩阵H(s)与系统稳定性：对与系统稳定性：对n阶系统阶系统Step1:Step2:第81页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解2、矩阵、矩阵A的特征方程与系统稳定性：对的特征方程与系统稳定性：对n阶系统阶系统第82页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解二、离散系统稳定性判别二、离散系统稳定性判别:1、矩阵、矩阵H(z)与系统稳定性：对与系统稳定性：对n阶系统阶系统Step1:Step2:第83页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解2、矩阵、矩阵A的特征方程与系统稳定性：对的特征方程与系统稳定性：对n阶系统阶系统第84页/共86页8.4 8.4 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解第85页/共86页感谢您的观看！第86页/共86页