线性系统状态变量分析.pptx

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1、 研究对象 数学工具 理 论 时 域 频 域 单输入-单输出 系统 连 续 微分方程 传递函数法 (Laplace变换)经典控制理论 离 散 差分方程 Z传递函数法 (Z变换)计算机控制理论 多输入-多输出 系统 连 续 一阶微分方程组 (状态空间法)传递矩阵法现代控制理论 离 散 一阶差分方程组 (离散状态空间法)Z传递矩阵法计算机控制理论研究对象、数学工具与理论第1页/共88页 现代控制理论由于复杂的任务和高精度的要求，工程系统正朝着更加复杂的方向发展。复杂系统可能具有多输入量和多输出量，并且可能是时变的。从1960年开始发展起来的现代控制理论，就是对复杂系统进行分析和设计的新方法，它建立

2、在“状态”概念之上。现代控制理论与经典控制理论的区别前者适用与多输入-多输出系统，可以是线性的或非线性的，也可以是定常的或时变的；后者仅适用于线性、定常、单输入-单输出系统。第2页/共88页5.1 状态变量分析的基本概念【引例】1.右图所示质量-阻尼-弹簧系统，有三种描述方法。（1）微分方程（2）传递函数第3页/共88页 时，系统的状态就速度 、和输入量 当已知初始位移 、（3）一阶微分方程组这是系统的状态方程，唯一确定了。定义状态变量定义状态向量则第4页/共88页则得到状态方程（5.1-1）输出方程（5.2-2）写成标准形式式中第5页/共88页2.由一个电阻R（欧姆）、电感L（亨利）和一个电

3、容C（法拉）组成的电路系统。（1）微分方程（2）传递函数第6页/共88页（3）状态空间表示。定义状态变量定义输入和输出变量则可得状态方程输出方程第7页/共88页写成标准形式式中第8页/共88页以状态变量 为元组成的列向量 5.1.2 状态变量、状态向量、状态空间、状态方程1 状态变量动力学系统的状态是指能完整地、准确地描述系统的时域行为的最小一组变量：2.状态向量称为状态向量.第9页/共88页3 状态空间状态向量所有可能的集合 以状态向量各元素为坐标轴组成的n维正交空间称为状态空间。4 状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组，用向量矩阵表示的方程式称为状态方程。第10页/共

4、88页标准形式 或 为nm维系数矩阵（输入矩阵）。为nn维系数矩阵（状态矩阵）；为n1维状态向量；为m1维输入向量；5.1.3 状态方程与输出方程的标准形式1 状态方程式中第11页/共88页（3）非线性系统 其状态方程不可能写成上述标准（1）定常系统 A和B中的各元素都是不随时间变化的常数；（2）时变系统 有一些元素是时间的函数，即形式，只能一般地表示为第12页/共88页 p1维输出向量；2 输出方程标准形式式中 pn维系数矩阵（输出矩阵；pm维系数矩阵（直传矩阵）。注意 在状态方程中不能含有X高于一阶的导数项和U的任何阶的导数项；在输出方程中不含有任何导数项。第13页/共88页5.2 用状态

5、方程描述线性定常连续系统5.2.1 由高阶微分方程化为状态方程(mn)其中y为输出函数，u为输入函数。列写状态方程就是1 方程中不包含输入函数导数的情况把上式的高阶微分方程化为与确定的状态变量相应的一阶微分方程组，然后用矩阵表示。第14页/共88页化为状态变量（1）选择状态变量（2）将高阶微分方程的一阶微分方程组。系统输出关系式为第15页/共88页（3）将一阶微分方程组用矩阵形式表示状态方程为输出方程为第16页/共88页若记则状态方程和输出方程可写成第17页/共88页2 方程中包含输入函数导数的情况（1）选择状态变量，令式中：为待定系数。（1）（2）第18页/共88页经推导可得（即可由 、计算

6、 ）（3）（2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出方程第19页/共88页（3）写成矩阵形式状态方程输出方程第20页/共88页5.2.2 由传递函数求状态方程1 单输入单输出定常系统的传递函数是一般的有理式式中mn，它所对应的微分方程为初始条件为第21页/共88页选状态变量 ，可得引入一个中间变量X(s)，将G(s)改写为令则有状态方程（1）（5.2-1)第22页/共88页上页式（1）等价于即输出方程（5.2-2）第23页/共88页2 传递函数展成部分分式，只有单极点设其中分母N(s)只有单根，即其中待定系数 是 在相应极点 处的留数，即（5.2-3）（5.2-4）第24页/共88页于是输出 的

7、拉氏变换令则输出（5.2-5）（5.2-6）由式（4.2-5）可得到 的拉氏反变换以 为状态变量，可以写出第25页/共88页状态方程：输出方程：第26页/共88页3 函数展成部分分式，有重极点设G(s)的分母N(s)可分解为则G(s)可分解为其中重极点对应各项的系数其余系数按式（5.2-4）求得。第27页/共88页由传递函数可得选择状态变量第28页/共88页则输出的拉氏变换由上组方程的拉氏反变换得到状态方程和输出方程第29页/共88页写成矩阵形式状态方程：第30页/共88页输出方程：上述状态方程的系数矩阵为若当（John）标准型。其特征是：除主对角线上的元素可取任意值及紧靠主对角线上的元素可为

8、 1 外，其余元素都为 0.第31页/共88页 的状态方程按前述三种情况求出。化 ，d是常数，是有理分式。输出的4 传递函数分子分母阶次相等当传递函数 的分子的阶次m等于分母的阶次n时,拉氏变换为例5.2-1 系统的传递函数为 ，求它的动态方程。第32页/共88页【解】输出的拉氏变换由式（5.2-1）可写出状态方程输出方程由两部分组成第33页/共88页5.3 线性离散系统的离散状态空间表达式 单输入单输入-单输出单输出 多输入多输入-多输出多输出 连续系统连续系统 时时 域域 微分方程微分方程 一阶微分方程组一阶微分方程组 复复 域域 传递函数传递函数 传递函数矩阵传递函数矩阵 离散系统离散系

9、统 时时 域域 差分方程差分方程 一阶差分方程组一阶差分方程组 复复 域域 Z传递函数传递函数 Z传递函数矩阵传递函数矩阵 连续系统与离散系统的分析方法第34页/共88页线性离散时间系统的状态空间表达式可表示为F：nn维，状态矩阵G：nm维，输入矩阵/驱动矩阵C：pn维，输出矩阵D：pm维，直传矩阵/传输矩阵第35页/共88页5.3.1 由差分方程导出离散状态空间表达式单输入-单输出离散系统的n阶差分方程1 m=1.即控制变量（差分方程的输入函数）不包含差分项（1）选择状态变量第36页/共88页状态方程第37页/共88页输出方程简写成第38页/共88页2 m0，即控制变量包含高于一阶的差分选择

10、状态变量第39页/共88页其中待定系数状态方程第40页/共88页可以求得 .于是得到状态方程和输出输出方程例5.2-1 设线性定常差分方程为试写出状态方程和输出方程。【解】由已知条件知第41页/共88页方程分别为!由于状态变量的选择不是唯一的，因此状态 方程也不是唯一的。第42页/共88页5.3.2 由Z传递函数建立离散状态空间表达式1 直接程序法G(z)可写成令第43页/共88页选择状态变量状态方程第44页/共88页（1）G(z)具有不同的极点 .输出方程2 分式展开法式中第45页/共88页令则有及第46页/共88页设 为 r 重极点.（2）G(z)具有多重极点式中状态方程与输出方程分别为第

11、47页/共88页第48页/共88页初始条件 .5.4 线性定常连续系统的状态方程分析5.4.1 线性定常齐次状态方程的解先用逐次逼近法求解纯量齐次微分方程用逐次逼近法可求得可以验证级数（5.4-2）是齐次方程（5.4-1）的解，（5.4-1）（5.4-2）第49页/共88页对式（5.4-2）求导方程（5.4-2）右端级数是一致收敛的，所以方程（5.4-3）成立，级数（5.4-2）是方程（5.4-1）的解.而由微分方程理论已知，满足初始条件的方程（5.4-1）的解为（5.4-3）第50页/共88页1 向量微分方程逐次逼近求解法（5.4-4）式中：X为n维列向量；A为nn维定常矩阵.参照纯量方程的

12、解（5.4-2）可以得到齐次方程（5.4-4）的解（5.4-5）可以证明式（5.4-5）右端的矩阵级数对任意A和 t是一致收敛的，所以它是方程（5.4-4）的解.第51页/共88页比较式（5.4-2）和（5.4-5）括号内的两个级数，它在形式上完全一样，因此后者可以认为收敛为矩阵指数函数 .定义无穷级数矩阵称为矩阵指数，可以证明此级数对于任何实数矩阵A都是绝对收敛的。第52页/共88页定理 状态方程（5.4-4）满足初始条件的解为2 拉氏变换求解法对方程（5.4-4）两边做拉氏变换式中（5.4-6）（5.4-7）第53页/共88页后，利用 可求得任意时刻的状态。因此 包含 称为状态转移矩阵。当

13、系统的初始条件 已知对式（5.4-7）两边取拉氏反变换，得到状态方程的解根据线性定常微分方程截的唯一性，可知了系统的自由运动的全部信息。第54页/共88页5.4.2 线性定常非齐次方程的解状态方程初始条件（5.4-8）1 方程（5.4-8）移项后两端左乘 ，经推导得到非齐次方程的解（5.4-9）同样（5.4-10）初始状态的转移项控制作用下的受控项第55页/共88页2 利用拉氏变换求解对式（5.4-8）两端取拉普拉斯变换对上式两端取拉氏反变换零输入分量：初态对各状态的影响零状态分量：各状态对输入的响应（5.4-11）（5.4-12）第56页/共88页系统的输出方程对上式两边取拉氏变换（5.4-

14、12）（5.4-13）将式（5.4-11）代入上式（5.4-14）3 传递函数与状态空间方程的关系零初始条件下，即方程（5.4-8）的初态时，就是单输入-单输出系统的传递函数，第57页/共88页由式（5.4-14）可得则4 传递函数矩阵多输入-多输出系统，设有m个输入，n个输出，（5.4-15）第58页/共88页则可用传递函数矩阵将输出量Y(s)与输入量U(s)联系起来，即G(s)是nm维矩阵。是系统的特征方程，反映系统的动态特性。（5.4-16）第59页/共88页5.4.3 矩阵指数与状态转移矩阵1 矩阵指数的定义关于nn的方阵A，定义矩阵指数函数 如下：这里规定 。可以证明上式的右端级数对

15、于任何（5.4-17）A和 t 都是收敛的。2 矩阵指数的性质（略）第60页/共88页 称为系统的状态转移矩阵。而且，是非奇异矩的初始状态向量。矩阵 可以表明，在没有外作用下，从时刻 0 到 t 的状态演化（变换），因此，把3 状态转移矩阵在没有输入即 u(t)=0 的情形下，齐次状态方程的解就是系统的自由运动。X(t)为系统在时刻 t 的状态向量，X(0)为系统在 t=0阵。这种是线性变换，也是可逆变换。第61页/共88页 状态转移矩阵的一般定义设时变系统为定义一个 nn 阶矩阵（5.4-18）其中第 k 列是方程（5.4-18）在初始条件为第62页/共88页的解，称 是系统（5.4-18）

16、的状态转移矩阵。状态转移矩阵的一般性质（1）状态转移矩阵 满足微分方程第63页/共88页 把 写成 n 个列向量（2）（3）并设初值 为第64页/共88页 。称作状态转移矩阵，即 作用于系统时，矩阵 的各列 构成函数列向量 的向量空则上式表明，齐次状态方程在任意初始条件下的解 ，总是各个列向量 的线性组合。即间的一组基。就把系统 时刻的状态 转移到 t 时刻的状态 第65页/共88页5.5 用线性离散状态方程分析系统 线性离散状态方程的解法 Z传递矩阵 Z特征方程5.5.1 线性离散状态方程的求解线性离散状态方程就是由高阶的差分方程转化过来的一阶差分方程组。迭代法 Z变换法第66页/共88页1

17、 迭代法设线性系统的离散状态空间表达式为状态量和输入的初始值分别为X(0)、u(0)。（k=0,1,2,）以k=0,1,2,代入式（5.5-1）可推得（5.5-1）（5.5-2）第67页/共88页方程（5.5-2）给出了离散方程状态方程的通解，代入方程（5.5-1）便可得到输出y(kT).从方程（5.5-2）还可以看出系统的状态转移矩阵为它描述了当 u(kT)=0 时，系统由 t=0 的初始状态X(0)向任意时刻 t=kT 的状态X(kT)转移的特性。！用迭代法接状态方程得不到闭合解析式（5.5-3）（5.5-4）第68页/共88页例5.5-1 试用Z变换法求如下状态方程的解设【解】令k=0,

18、1,2,用迭代式，可得状态方程的解第69页/共88页可见，用迭代法求得上述的解，只能得到数值解，而不能写成闭合形式。若要写成闭式解，可以先求出状态转移矩阵 ，然后求得闭式解。第70页/共88页2 Z变换法对式（5.5-1）两边作Z变换，可推得（5.5-5）对式（5.5-3）作Z反变换，可得（5.5-6）比较式（5.5-6）和（5.5-3），有（5.5-7）第71页/共88页例5.5-2 试用Z变换法求解例5.5-1.【解】于是可算出第72页/共88页解得 为第73页/共88页5.5.2 线性离散系统的Z传递矩阵 设线性离散系统的状态空间表达式为对上式作Z变换式中：X(kT)n1 维状态向量U(

19、kT)m1 维输入向量Y(kT)p1 维输出向量第74页/共88页当初始条件为零，即 X(0)=0 时，有其中（5.5-9）称 为线性离散系统的Z传递矩阵（pm维矩阵）。它反映了在初态静止的条件下，输出量和输入量的Z变换即Y(z)与U(z)之间的关系。第75页/共88页5.5.3 线性离散系统的Z特征方程状态方程对上式作Z变换，可得仿照线性连续系统，令矩阵 行列式（5.5-10）称上式为离散系统的Z特征方程，它的根是矩阵F的特征值，就是线性离散系统的极点。第76页/共88页当 时，是否收敛决定系统是否稳定。5.5.4 用离散状态空间法分析系统的稳定性状态方程当输入量 u(kT)=0 时，可知其

20、解为系统稳定的充要条件是：系统特征方程的所有特征根 满足（5.5-12）（5.5-13）（5.5-11）第77页/共88页说明如下：设F是具有不同的特征值 的nn维矩阵，则由西尔维斯特（Sylvester）定理，将 可以 展开成级数式中：为 的结构矩阵，即（5.5-14）（5.5-15）它与 k 无关。将式（5.5-14）代入（5.5-11），可得到状态向量的解。第78页/共88页及常数向量。若当 时，向量 ，必须因 均与 k 无关，即与时间无关，是常数矩阵全部 满足（5.5-16）（5.5-17）可见当且仅当 时，式（5.5-17）才收敛。第79页/共88页5.6 线性连续系统的离散化采样系

21、统将连续时间系统化为离散系统。基本假定：（1）离散方式是普通的周期采样。采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而可以忽略不计；（2）采样周期T的选择满足香农（Shannon）采样定理即离散函数可以不失真地恢复为原连续函数；（3）保持器为零阶保持器。第80页/共88页 定常连续系统的状态方程变换为离散状态方程定理 设线性定常系统状态空间表达式为满足上述基本假定，则离散化状态空间表达式为式中F、G、C、D为常数矩阵（5.6-1）（5.6-2）第81页/共88页使用零阶保持器，采样周期T=1s，试求离散化状态方例5.6-1 设连续控制系统的状态空间方程为程。【解】连续状态转移矩阵为第82页/共88页离散化状态方程的系数矩阵第83页/共88页使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第84页/共88页使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第85页/共88页使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第86页/共88页已知T=1，则可得于是得到离散化状态空间方程第87页/共88页感谢您的观看！第88页/共88页